引言

隨著信息技術的發(fā)展,人們對信息的需求劇增,現(xiàn)實中大多數(shù)信號是模擬信號,而信號處理的數(shù)字化,決定了從模擬信息到數(shù)字信息是數(shù)據(jù)采樣的必由之路,由于信息需求量大,信息的信號帶寬越來越大,產生的數(shù)據(jù)越來越多,采用傳統(tǒng)的香農-奈奎斯特定理處理寬帶信號越來越困難。而在信息處理和傳輸過程中,為了便于傳輸,會再進行數(shù)據(jù)壓縮,這個過程浪費了大量的采樣資源。文獻[1-6]給出的壓縮感知理論(Compressedsensing)為解決此問題提供了可能,它指出只要信號可壓縮或者在某個變換域是稀疏的,那么就可以用一個與該變換基不相關的觀測矩陣將高維信號投影到低維空間上,然后通過求解優(yōu)化問題從少量的投影高精度地重構原始信號。該理論在圖像信號處理、數(shù)據(jù)采集、醫(yī)學成像、模式識別和無線傳感器網(wǎng)絡等領域受到高度關注。

1壓縮感知理論

1.1壓縮感知的數(shù)學模型

已知x是一維有限長度信號,可看作一個RN空間Ⅳ×1維列向量,若在某個正交基或者緊支撐框架基w上是稀疏的,則稱信號x在w域N稀疏,也就是說,x信號壓縮成少量的非零值,然后再找一個穩(wěn)定、與變換基w不相關的k×Ⅳ(k<Ⅳ)維測量矩陣,對稀疏信號進行線性測量,觀測k≥Klog2(EQ \* jc3 \* hps17 \o\al(\s\up 5()次,即得到測量值y,測量公式如下:

在選擇測量矩陣時必須滿足不相干性和約束等距條件(Restricted1sometryProperty,RIP)兩個約束條件。

相干性是兩個不同矩陣間任意兩個元素的相關程度。設w=(w1,w2,…,wn),o=(o1,o2,…,om),兩者相干性為:

在壓縮感知中,稀疏矩陣與測量矩陣之間相干性低,則對重構信號采樣要求少。

約束等距條件:

式中,s為常數(shù),且0≤s<1是精確恢復信號的充分條件。

壓縮感知滿足上述兩個條件得到觀測值,通過測量向量y可正確恢復原始信號x。由于k<Ⅳ,從測量值y恢復原始信號x是一個欠定方程,為解決這個問題,壓縮感知重構信號算法將0-范數(shù)轉化為1-范數(shù)線性規(guī)劃問題進行求解,具體如式(4)所示:

1.2梯度迭代重構算法

如何設計出復雜度低、更精確、更穩(wěn)定且需觀測值少的重構算法是壓縮感知理論信號重構的主要研究方向。本文提出基于梯度算法,分別用一個補償微參數(shù)和一個全變分因子恢復重構信號,來證明基于梯度算法重構信號的效果。

1.2.1梯度算法

已知觀測的線性矩陣方程y=s,求解L)函數(shù)最小化問題可以得到解決方案,求解公式如下:

根據(jù)上式可知L)是光滑凸函數(shù),可得下式:

式中,ui為迭代步長:si、si＋1分別對應的是第i、i＋1個元素求得的對應的梯度值。

將式(6)代入式(5),可得迭代步長:

求解可得:

1.2.2利用1-范數(shù)入補償量

若圖像信號是稀疏的,可通過1-范數(shù)求解,選擇參數(shù)入值進行補償以重構原始信號。設si,j代表圖像元素,將稀疏圖像的優(yōu)化問題轉換為求1-范數(shù),如下所示:

該式引入一個參量入作為第一變量與第二變量之間的平衡參數(shù),由于si,j在原點處不可微,則式(9)的解如下:

將迭代步長ujn值代入公式(9)和(10),用梯度下降法,選擇入為一個微小常量(入=0.001~0.01),則參數(shù)入隨著入i＋1=(0.99~0.999)×入i迭代步驟的增加而逐漸減小,即恢復重構信號更加精確。

1.2.3約束全變分法

若圖像在時域不稀疏,則將圖像求解轉化為凸優(yōu)化問題,為更好地恢復圖像信號,在梯度算法基礎上,引入一個全變分因子rv(s),則式(9)可轉變?yōu)槭?12):

對于MXN圖像si,j,其全變分公式為:

其中:

則可得解如下:

2圖像重構實驗對比

為了更加直觀地說明基于梯度算法的重構效率,下面用256×256像素的圖片為原始信號,如圖1所示,選擇測量矩陣大小100×56進行仿真實驗。通過仿真實驗,分別得到圖2、圖3兩張圖片:圖2是采用1-范數(shù)算法恢復的圖像,圖3是采用約束全變分方法恢復所得圖像,通過對比,圖3的圖像恢復效果更好。圖4是原始圖像與恢復圖像之間的總變化,信噪比的總變化數(shù)為34.46dB。

3結語

對于稀疏或可壓縮的信號,引入壓縮感知理論這種新的信號采樣方式,對原始信號進行觀測后,得到恢復信號的觀測值,根據(jù)該觀測值,提出基于梯度算法進行原始信號重構的優(yōu)化計算。實驗表明,基于梯度迭代重構算法,利用l-范數(shù)補償條件,通過凸優(yōu)化問題限制重構總誤差,能以極大概率精確重構原始信號。