先解釋下文章的題目。我們討論的是信號，首先面臨的是什么是信號，或者我們將要討論的具體“信號”代表的是什么，其實我認為信號就是函數(shù)，之所以不稱他為函數(shù)，是因為他是一種特殊的函數(shù)----它攜帶了信息，所以信號就是攜帶了信息的函數(shù)。 連續(xù)信號是指，自變量連續(xù)取值的信號，也稱為模擬信號。注意，這里并沒有說連續(xù)信號是連續(xù)函數(shù)，連續(xù)信號只是限制了自變量取值的連續(xù)性。而自變量不是連續(xù)變化的信號，稱為離散信號。在這篇文章里，我們要討論的是連續(xù)信號在有限區(qū)間上的傅立葉級數(shù)展開，之所以要討論有限區(qū)間，是因為在工程應(yīng)用中，我們往往只能討論有限時間或者空間變化內(nèi)的信號。?

為什么要討論傅立葉級數(shù)展開呢？原因是，這個稱為信號的函數(shù)的特殊性，因為它攜帶了信息，我們希望能獲取這種信息，而將其展開成傅立葉級數(shù)的形式，可以獲得它的一些信息，所以我們要討論它的傅立葉級數(shù)展開。其實信號處理的基礎(chǔ)就是傅立葉級數(shù)展開，這里實在是感謝傅立葉，沒有它，今天很多智能應(yīng)用都是很難實現(xiàn)的。另一方面，我們不學(xué)好它，也不好在現(xiàn)代社會學(xué)術(shù)前沿生存！所以學(xué)起吧！

1、疊加與逆

信息通過波傳播，在信號的傳播路徑上，連續(xù)采集它的幅度值，就能得到一個時間的函數(shù)，這個函數(shù)就是一種信號。考慮聲音在某種介質(zhì)中傳播，介質(zhì)固定后，波的傳播速度就固定了，速度固定，我們根據(jù)波的頻率不同來區(qū)分不同的聲音。但是我們很難從獲得的聲音信號中看出頻率的信息！但是，如果我們隨機的組合不同頻率的波，可以得到復(fù)雜的波，那么復(fù)雜的波是否可以分解成不同頻率的波的組合呢？

這其實也是個逆問題。簡化理解下：某種客觀存在發(fā)出不同頻率的波，然后疊加起來，傳播，我們收到了這個信號，能否得到原先不同頻率的波？由我現(xiàn)在掌握的知識，我不覺的這是可行的，但是我們可以找到某些頻率的波的疊加。我的意思是，復(fù)雜波不能唯一的分解成某些頻率波的疊加，但是可以分解成某些頻率的波的疊加。最后我會再說明這一點。

2、一些基本的概念后出發(fā)！

由于我們討論有限區(qū)間上模擬信號的傅立葉級數(shù)展開。有限區(qū)間定義為[t_0, t_0 + T]，f_0=1/T稱為基頻。我們認為簡諧波是最簡單的波，一般我們采集到的波稱為復(fù)雜波，所以A*sin(2*pi*f_0*t+phi)稱為基波，給一個正整數(shù)n，nf_0這個頻率稱為n次倍頻（這個稱呼是我自己想的，沒有文獻中大家的叫法，如有看客不吝告知有行業(yè)共識的稱呼，不勝感激呀），A*sin(2*pi*n*f_0+phi)稱為n次諧波。我們先做個實驗，看看由頻率不同的波組成的復(fù)雜波是什么樣子的。

先附上我做實驗用的程序，由matlab寫成。

%?
T?=?4;?%?time?region.?[0,?0+T]
f0?=?1/T;?%?fundamental?frequency

Num?=?3;?%number?of?waves.
Samples?=?500;?%?number?of?samples?on?the?time?domain.
fa?=?1:Num;
fa?=?f0*fa;?%?frequency?of?every?wave.

%?amplitude
A?=?10*rand(1,Num);
A?=?round(A);?%?set?every?wave's?amplitude?randomly

%?
re?=?zeros(1,Samples);?
t??=?linspace(0,T,Samples);?%?time?sample?position

%?every?waves
rew?=?zeros(1,?Samples);
figure;
for?i?=?1:Num
????rew?=?A(i)*sin(2*pi*fa(i)*t);
????plot(t,?rew);
????hold?on
????re?=?re?+?rew;
end
plot(t,?re,?'r');

在實驗中，我設(shè)置了各個簡諧波的相位都為0，設(shè)置每個波的幅度值為隨機數(shù)。大家在運行的時候可能有不同的結(jié)果。

我運行一次的結(jié)果如圖1：

圖1 簡諧波的疊加，紅色波形是疊加的結(jié)果。

實際上，即使不做實驗，我們也很明白，不同的函數(shù)疊加一定可以得到一個新的函數(shù)，不同的簡諧波當(dāng)然可以疊加稱一個復(fù)雜波。問題是，我們可以由復(fù)雜波分解成多個不同頻率的簡諧波的疊加么？ 實際上數(shù)學(xué)上，在一定條件下，是可以的。

某些復(fù)雜的波，在一定條件下可以展開成某些頻率的波的疊加。但是這種展開，我覺得并不是唯一的，但是有一種基本的波形可以被用來做疊加之用，而且大多數(shù)復(fù)雜波都可以由他們疊加而成，這種波就是簡諧波，而且我們會限定間歇波的頻率關(guān)系，寫成級數(shù)的形式，就是傅立葉級數(shù)了。

3、傅立葉來了！

任何復(fù)雜波形都可以在一定條件下被展開成傅立葉級數(shù)的形式。

設(shè)復(fù)雜波為x(t)，在有限區(qū)間[t_0, t_0+T]上定義，f_0=1/T為基波的頻率。則有

下面慢慢推倒出另一種形式。

首先把（1）式sin函數(shù)展開可以得到：

做如下設(shè)定：

則復(fù)雜信號x(t)的展開可以寫成：

（5）式就是信號x(t)的傅立葉展開了。

4、傅立葉展開的復(fù)數(shù)形式

Euler公式如下：

根據(jù)這個公式，我們可以得出：

將（8，9）兩式帶入（5）式，計算得到：

做如下設(shè)定

由（10，11，12，13）可得

將（14）式的等號右邊的第三項改成n從-1，到負無窮，可以寫成如下形式：

（15）式就是信號的復(fù)數(shù)形式的傅立葉展開了。

5、信號的傅立葉分析

看（15）式，如果我們能確定c_n，我們就可以求得A_n和phi_n了，各個頻率的幅度值和相位就確定了。信號是攜帶信息的函數(shù)，信息就是n次諧波的振幅、頻率和相位！也許不同的人有不同的看法，我只是同意這個觀點而已。

下面介紹怎么求解c_n，也許數(shù)學(xué)上有許多條件限制，我們就認為一切條件都是滿足的，直接來求。

將（15）式左右兩邊乘以e^{-i2pi m f_0 t}，將兩邊的函數(shù)在[t_0, t_0+T]上求積分。

(16)式中，等式右邊積分號是不能隨便進入和號內(nèi)部的，需要滿足一定條件。比如和式的每一項都連續(xù)，并且函數(shù)項級數(shù)一致收斂于某個函數(shù)，這個 積分號就可以放到和號之內(nèi)了。

各位可以驗證，當(dāng)m！=n時，和式內(nèi)的積分為0.所以只能保留m=n時的式子，而且積分為值為Tc_n，那么：

c_n求的之后，我們就可以知道A_n 和 phi_n了，根據(jù)（3，4，11，12，13）知道：

由（22，23）兩式得到的A_n和相位phi_n是相等的。

稱c_n為x(t)在有限區(qū)間上的離散頻譜，稱|c_n|為信號x(t)在有限區(qū)間[t_0, t_0+T]上的離散振幅譜；稱Argc_n為信號x(t)在有限區(qū)間[t_0, t_0+T]上的離散相位譜。離散相對連續(xù)存在，后面的文章會繼續(xù)討論，連續(xù)信號的連續(xù)頻譜。

由信號x（t）求出傅立葉級數(shù)的系數(shù)c_n，稱為在有限區(qū)間上對信號x(t)做頻譜分析。

6、連續(xù)信號傅立葉分解的唯一性討論

大家注意到一開始說信號在有限區(qū)間上展開成傅立葉級數(shù)，定義的級數(shù)中簡諧波的頻率是跟信號考慮的區(qū)間長度有關(guān)系的。

如果給出一個信號，我們?nèi)〉脮r間段不同，得到的離散振幅譜和離散相位譜也會存在差異的。

我們得到一個信號，如果這個信號周期性的，我們可以在一個周期內(nèi)做頻譜分析，因為周期信號的所有信息就可以認為都保存在同一個周期里了！

7、總結(jié)

總結(jié)幾點：

* 信號在一定條件下可以分解成傅立葉級數(shù)的形式。

* 取信號的區(qū)間長度不同，頻譜分析結(jié)果存在差異。

* 要做周期性的頻譜分析，意義重大。

還有需要說明一下的是：簡單波和復(fù)雜波是相對的概念。在本文的討論中，簡單波我們使用的是正弦波，我們也可以使用其他波作為簡單波，簡單波的疊加被成為復(fù)雜波。具體使用什么波要根據(jù)具體情況而定。但是傅立葉分析是最重要的！