【剖析】傅里葉變換、拉普拉斯變換、Z變換

接著上文聊，我們知道在s域上，虛軸上不同的點(diǎn)對(duì)應(yīng)不同的頻率，而z域上單位圓與s域虛軸對(duì)應(yīng)，可見，z域單位圓上不同的點(diǎn)，代表了不同的頻率。

對(duì)于z域的傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)，也有和s域零極點(diǎn)類似的結(jié)論：

• 規(guī)律1：如果在單位圓上有零點(diǎn)，則在零點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率上幅值響應(yīng)為零；

  
  

• 規(guī)律2：對(duì)于不在單位圓上的零點(diǎn)，在單位圓上離零點(diǎn)最近的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率上幅值響應(yīng)最小。

  
  

• 規(guī)律3：對(duì)于在單位圓內(nèi)部的極點(diǎn)，在單位圓上離極點(diǎn)最近的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率上幅值響應(yīng)最大。

  
  

• 規(guī)律4：如果極點(diǎn)和零點(diǎn)重合，對(duì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)沒有影響。

  
  

單位圓逆時(shí)針從0 -> -0.5fs -> 0？

細(xì)心的朋友發(fā)現(xiàn)沒？上圖單位圓為何逆時(shí)針是從0->0.5fs，然后又從-0.5fs到0？耐心等待下文的解釋。

很久以前，我們需要處理的信號(hào)只有模擬信號(hào)。但是現(xiàn)在我們步入了新時(shí)代——數(shù)字時(shí)代，大部分信號(hào)都變成數(shù)字式了，典型的數(shù)字信號(hào)長(zhǎng)成這個(gè)樣子：

把模擬信號(hào)變成數(shù)字信號(hào)的過(guò)程稱之為采樣。

采樣頻率定義為：

采樣是一個(gè)有規(guī)律的周期性過(guò)程，也就說(shuō)，采樣會(huì)引入額外的諧波分量。舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，現(xiàn)在有一個(gè)余弦信號(hào)，頻率為 8Hz，表達(dá)式為：

假設(shè)我們對(duì)這個(gè)余弦信號(hào)進(jìn)行采樣，采樣頻率fs為20MHz，采樣結(jié)果如下圖，其中虛線為原始信號(hào)，菱形為采樣點(diǎn)的數(shù)值。

采樣到的離散的點(diǎn)，我們用曲線擬合的方式即可恢復(fù)模擬信號(hào)，但是！

擬合出來(lái)的曲線可能是12Hz、28Hz，32Hz，48Hz，…，也就是說(shuō)采樣之后信號(hào)頻譜有很多頻率，而不單單是原信號(hào)頻率8Hz。

為什么？怎么辦？

采樣定理

兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域相乘，在頻域相當(dāng)于卷積；在時(shí)域卷積，在頻響相當(dāng)于相乘。

狄拉克梳狀函數(shù)（Dirac comb）

狄拉克函數(shù)定義為：

離散信號(hào)，其實(shí)就是連續(xù)信號(hào)f(t)與狄拉克梳狀函數(shù)（也就是采樣函數(shù)）的相乘，這就是采樣。這是時(shí)域行為，在頻域就是卷積！

狄拉克梳狀函數(shù)無(wú)論在時(shí)域還是在頻域，其形貌都是一系列的脈沖信號(hào)，感興趣的朋友可以參考這個(gè)鏈接查看推導(dǎo)：https://zhuanlan.zhihu.com/p/45114376

舉個(gè)例子：

對(duì)于余弦函數(shù)而言，比如：w=2πf, f=8Hz

其傅里葉變換包含兩個(gè)頻率分量，分別是8Hz以及-8Hz，如下圖：

采樣頻率fs為20Hz:

采樣后的信號(hào)的頻譜被周期延拓了，延拓的周期就是20Hz，也就是采樣頻率。

上文說(shuō)了，對(duì)8Hz的余弦函數(shù)采樣得到離散點(diǎn)，擬合出來(lái)的曲線可能是12Hz、28Hz，32Hz，48Hz，也就是說(shuō)采樣之后信號(hào)頻譜有很多頻率，而不單單是原信號(hào)頻率8Hz。

現(xiàn)在明白了吧，12Hz是-8Hz平移一個(gè)采樣周期(20Hz)得來(lái)的，28Hz是8Hz平移一個(gè)采樣周期，32Hz是-8Hz平移兩個(gè)采樣周期，48Hz是8Hz平移兩個(gè)采樣周期。

得到了如下結(jié)論：對(duì)一個(gè)連續(xù)信號(hào)的采樣，采樣后的頻譜相當(dāng)于將采樣前的頻譜進(jìn)行了延拓，延拓的周期就是采樣頻率。

奈奎斯特采樣定律假設(shè)一個(gè)信號(hào)的頻譜如下：

頻譜中最大的頻率為fmax ，用一個(gè)周期為fs的狄拉克梳狀函數(shù)進(jìn)行采樣后的頻譜為原頻譜的周期延拓，示意圖如下：

采樣之后的頻譜是一個(gè)周期函數(shù)，我們把[0, 1/2*fs]稱為主值區(qū)間：

這就解釋了上文的問(wèn)題：細(xì)心的朋友發(fā)現(xiàn)沒？上圖單位圓為何逆時(shí)針是從0->0.5fs，然后又從-0.5fs到0？

接著思考下，如果采用頻率小于信號(hào)最大頻率的2倍：

會(huì)發(fā)生原始頻譜信號(hào)經(jīng)過(guò)周期延拓后會(huì)有一部分重疊：

對(duì)于連續(xù)信號(hào)的進(jìn)行抽樣離散的話，必須保證采樣頻率是原連續(xù)信號(hào)最大頻率分量的2倍頻率以上，否則信號(hào)就難以復(fù)原。這就是采樣定理，又叫奈奎斯特采樣定理或香農(nóng)采樣定理。

零、極點(diǎn)影響頻率響應(yīng)

• 例子1：

  
  

對(duì)于這個(gè)系統(tǒng)，在z=0有一個(gè)極點(diǎn)，在z=1時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)。零、極點(diǎn)分布如下：

其中o表示零點(diǎn)，x表示極點(diǎn)。從z=1也就是單位圓上角度為零(也是頻率為零)的點(diǎn)開始，此處z=1有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)規(guī)律1，顯然在頻率為零時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)為零。

順著單位圓沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，我們離零點(diǎn)越來(lái)越遠(yuǎn)，零點(diǎn)的影響也越來(lái)越小，因此幅值響應(yīng)會(huì)逐漸增大。當(dāng)我們到達(dá)z=-1 ,也就是頻率為1/2fs時(shí)，此時(shí)離零點(diǎn)最遠(yuǎn)，因此響應(yīng)會(huì)達(dá)到一個(gè)最大值，當(dāng)頻率繼續(xù)增大時(shí)，由于離零點(diǎn)又開始接近了，幅值響應(yīng)又開始變小。

極點(diǎn)正好位于圓心位置，也就是說(shuō)所有頻率段離極點(diǎn)的距離都一樣，因此可以認(rèn)為都沒影響。

用freqz函數(shù)將系統(tǒng)的頻響畫出來(lái)，如下圖，這個(gè)系統(tǒng)本質(zhì)上是一個(gè)高通濾波器。

這個(gè)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到時(shí)域：

是不是很驚喜，這本質(zhì)就是一個(gè)差分，低頻信號(hào)被過(guò)濾，高頻信號(hào)通過(guò)。

• 例子2：

  
  

零極點(diǎn)圖如下：

零點(diǎn)跑到了1/2*fs處，因此，系統(tǒng)的頻響會(huì)先減小，到1/2*fs處達(dá)到最小值，然后又增加，具體頻響如下圖，這本質(zhì)上是一個(gè)低通濾波器。

時(shí)域的表達(dá)式為：

這本質(zhì)就是一個(gè)離散求和，對(duì)應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的積分，是一個(gè)低通濾波器。

低通、高通濾波有了，帶阻呢？

假如我們?cè)?到1/2fs之間放置一個(gè)零點(diǎn)，那會(huì)不會(huì)是一個(gè)帶阻濾波器呢？比如我們想在頻率在3/8fs這個(gè)點(diǎn)的系統(tǒng)頻率響應(yīng)為零。

[0, 1/2*fs]稱為主值區(qū)間，[-1/2*fs，0]為對(duì)稱區(qū)間，因此，3/8fs處對(duì)應(yīng)的相位角為3π/4，同時(shí)，-3π/4也是零點(diǎn)相位角。因此，傳導(dǎo)函數(shù)為：

展開可得：

感興趣的朋友繼續(xù)推導(dǎo)下帶通濾波器的設(shè)計(jì)，后面接著聊FIR、IIR濾波。