“簡 介： 對于學生在課后提出的關于全通系統(tǒng)的追問，推導出原來課件中存在的條件。這里的條件也完善了課件內容。對于學生的追問也令授課教師感到幸福。
關鍵詞： 全通系統(tǒng)，RLC電路

”

§01 全通系統(tǒng)

??在上周的“信號與系統(tǒng)”課上，講述到系統(tǒng)的 頻率特性^[1] 分析，涉及到 全通系統(tǒng)^[2] 的概念。也就是信號通過全通系統(tǒng)后，幅度譜不變，僅僅相位譜發(fā)生改變。其中列舉的電路系統(tǒng)全通系統(tǒng)的例子，如下圖所示。這個例子比較成熟，在很多教科書中都會涉及到。

??由于時間的原因，在課堂上并沒有對于該全通電路系統(tǒng)進行詳細介紹，僅僅介紹了它的結果。根據(jù)該系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)對應的零點、極點關于虛軸對稱分布的特點，可以得出信號通過該系統(tǒng)后，所有頻率分量的幅度增益相同，相位隨著頻率的增益單調下降。

??作為全通系統(tǒng)的樣例，在電路介紹的時候，在課件上并沒有將電路中的所有條件進行列寫出來。本以為由于該電路求解相對比較繁瑣，并不會引起班上的學生的特別的重視。但還是樣本學生在課后，對于這樣的電路進行了推導，發(fā)現(xiàn)其中存在的問題。學生通過微信發(fā)送來疑問：

“老師好，想問一個問題。此處的全通網(wǎng)絡我認為是等效成一個交流電橋，然后利用戴維南定理計算傳遞函數(shù)，算出來是這個式子：

”

想問一下到底是哪個才對?而且ppt上給出的式子甚至沒有電容C。

??且不論該學生自行推導的公式是否正確，至少這個全通電路系統(tǒng)引起了他的興趣，并做了進一步的追問。

??審視在這個成熟的全通系統(tǒng)的用例，的確對于它原有的出處少量佐證，至少能夠看到在原有課件中存在的缺少的條件。盡管沒有在第一時間能夠回答學生的提問，不過下面可以從問題的反方向來推導出上述電路系統(tǒng)成為全通系統(tǒng)的必要條件。

§02 對稱電路系統(tǒng)

??下面僅僅依靠由LC組成的對稱網(wǎng)絡，輸出負載為電阻R，可以推導出電路網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)。為了方便，使用器件s域模型，將原來的動態(tài)電路網(wǎng)絡轉換成變換域內的電阻網(wǎng)絡。

??首先根據(jù)對稱的LC網(wǎng)絡，將其重新整理成對稱的交流電橋的形式。輸出負載R就是電橋中點電壓的負載。

??下圖顯示了全通網(wǎng)絡整理后的H橋接的形式。為了簡化電路的求解，利用 戴維寧定理（Thevenin's Theorem）^[3] 將電橋兩邊分別等效成電壓源與電抗的串聯(lián)形式。

??電路的等效性是如下圖所示。兩邊的等效電路中，恒壓源為輸出開路時對應的LC分壓數(shù)值。電壓源內阻為從網(wǎng)絡輸入端口處的交流電阻。因此可以分別計算出以及，然后利用電阻網(wǎng)絡分壓定理計算出輸出電壓信號。

??兩個的數(shù)值為：

??兩個內阻相同，它們等于：

??那么作用在電阻上的輸出電壓為：

??所以該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

??從上面可以看出，如果希望希望網(wǎng)絡能夠最終形成只有一對零點、極點z形成虛軸左右對稱關系，組成全通系統(tǒng)，那么只有將分母配置成在實軸上的2階重根，與分子抵消一個位于左半復平面的零點之后，便可以最終剩下一對關于虛軸左右對稱的零極點了。所以需要有如下的數(shù)值關系：

??由此，可以將分母配置成一個2重根的表達式：

??這樣與分子抵消一個零點之后，最終形成了電路傳遞函數(shù)的有理分式。其中對應的零點和極點關于虛軸對稱，系統(tǒng)滿足全通系統(tǒng)的要求。

??因此從上述推導來看，在原來的課件中的確少了一個條件，也就是前面給出的之間的關系。

§03 討論總結

??上面討論過程，一方面補充了原來課件中少列些出的電路條件，另外也算給提問學生做了一個簡要的回答。在講課過程中的一些細節(jié)能夠引起學生的注意和追問，的確是作為一個教師所能感受到樂趣。再次也再次感謝追問課件中問題的學生。

參考資料

[1]頻率特性: https://baike.baidu.com/item/頻率特性/20265680?fr=aladdin

[2]全通系統(tǒng): https://baike.baidu.com/item/全通系統(tǒng)

[3]戴維寧定理（Thevenin's Theorem）: https://baike.baidu.com/item/戴維南定理/98440?fr=aladdin

黑龍江智能車邀請賽

卓大，這是今天黑龍江省邀請賽我們校單車的視頻，錄了3圈，最多跑了4圈半。賽道全長59米。

回復：太棒了！

卓大比賽的坡道會比今天黑龍江邀請賽的坡道大嗎？

回復：預賽的時候可能差不多，決賽的時候可能會增大一些。