T型網(wǎng)絡(luò)快速求解傳遞函數(shù)的方法
[導(dǎo)讀]傳遞函數(shù)在電路分析中的應(yīng)用必不可少，用于分析和調(diào)整系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于一般的同相反相放大電路，傳遞函數(shù)比較簡單，通過簡單的KCL原理就能得到，這里不做贅敘。但是對于T型反饋網(wǎng)絡(luò)，用較小的阻值就可以得到較大的放大倍數(shù)，在這種電路應(yīng)用KCL和KVL，節(jié)點法等方式求解傳遞函數(shù)，計算過程就...
傳遞函數(shù)在電路分析中的應(yīng)用必不可少，用于分析和調(diào)整系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于一般的同相反相放大電路，傳遞函數(shù)比較簡單，通過簡單的KCL原理就能得到，這里不做贅敘。但是對于T型反饋網(wǎng)絡(luò)，用較小的阻值就可以得到較大的放大倍數(shù)，在這種電路應(yīng)用KCL和KVL，節(jié)點法等方式求解傳遞函數(shù)，計算過程就會顯得比較臃腫和麻煩。以下的內(nèi)容是參考@xukun977的快速求解法，而且具有很強的通解性，在不同的網(wǎng)絡(luò)中都可以得到應(yīng)用。下面就是T型網(wǎng)絡(luò)的典型應(yīng)用，在高靈敏度的場合不會要求很大的電阻，T型網(wǎng)絡(luò)可以實現(xiàn)高靈敏度而無需不切實際大的電阻。
在這里先使用和其他帖子不一樣的地方，輸入信號用電流源。也用類似的節(jié)點法寫出傳遞函數(shù)，
1.運放同相端接地，所以V =V-=02.在節(jié)點V1使用KCL，將電流相加：-V1/R -V1/R1 (V0-V1)/R2=03.由于V-=0，所以輸入電流I流過R就是V1，因此V1=-R*I利用以上關(guān)系聯(lián)立求解：V0=-k*R*I
其中K=1 R2/R1 R2/R，因此要得到一個大點的放大倍數(shù)因子，選擇合適的R阻值就可以實現(xiàn)的。
這樣的求解是課本習題的標準做法，本身也沒有什么問題，但是就是做起來稍微顯得麻煩而已。
現(xiàn)在使用快速求解法得到T型網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)，先拿出結(jié)論，
先對這個公式的幾個參數(shù)做一個解釋，
第一步，Av是便是沒有R3的增益。看做R3的阻抗無窮大。將R3看作開路，這個就是基本的反相放大電路了。
顯然，此時Av=-（R1 R2）/R4
第二步，那么Rvo→0的含義，就是令輸出為零-null，計算從R3看進去的阻抗，此時電路可以等效為下圖：
關(guān)于nullator，維基百科給出了解釋，就直接貼過來的。
ZR3=VR3/IR3
由于此時電路比較簡單，使用KCL方便的，IR3=VR3/R2 VR3/R1,?可以快速得到阻抗是R1和R2的并聯(lián)，ZR3=R1*R2/(R1 R2);
第三步，那么Rvin→0的含義，就是將輸入短路到GND，計算從R3看進去的阻抗，此時電路可以等效為下圖：
ZR3=VR3/IR3
運放的虛短虛短可知V =V-=0，I =I-=0，由于Vin等于0，所以流過R4的電流也是0，根據(jù)KCL可知，流過R1的電流也是0。再進一步就可以得到R1兩端的電壓是0，所以圖中1點的電位是0，那么VR3=V1=0，這樣從R3看進去的輸入阻抗就是0了。
現(xiàn)在公式所有參數(shù)都求解出來了，只需要將得到的數(shù)據(jù)代入，就可以得到傳遞函數(shù)的表達式了：
在這里我寫了很多，實際應(yīng)用過程中，根本不需要怎么計算，就可以快速的得到公式中各個參數(shù)，比起傳統(tǒng)的KCL，節(jié)點法計算傳遞函數(shù)，這個要簡單方便很多的。
下面再用另外一個例子來說明，用快速計算法求解傳函的方便性。這個電路圖計算傳遞函數(shù)，要用節(jié)點法的話，估計要列舉很多公式。當然最后也是能解出來的。
現(xiàn)在使用快速求解法，計算傳遞函數(shù)表達式。
第一步，Av是計算C1開路情況下的阻抗，很顯然就是普通的并聯(lián)分壓電路，先將R1，R3串聯(lián)再和R2并聯(lián)，隨后和R5分壓得到輸出電壓、
第二步，令輸出Vo為零-null，計算C1看出去的阻抗，Zc1=R4 VT/IT，得到下面示意圖,
其中IT=I1 I2,根據(jù)nullator的定義可知，V0=0，I0=0，顯然所以流過R5的電流是0，那么I1=VT/R3，流過R2的電流也是I1，所以1點的電位V1=-I1*R2= -[VT/R3]*R2，此時V1也是等于Vin的。為了統(tǒng)一計算方便，下文就不再用Vin表示了。
那么I2=(VT-V1)/R1, IT=I1 I2
通過以上兩個等式，可以聯(lián)立求解，得到VT和IT的關(guān)系，從而可以得到阻抗。
經(jīng)過簡單化簡，就能得到在C1 R4看出去的阻抗
最后從C1看出去的阻抗Zc1=R4 Z;
第三步，將輸出Vin短路，計算C1看出去的阻抗，Zc1=R4 VT/IT，得到下面示意圖,這個圖計算Zc1就比較方便了，就是幾個電阻的串并聯(lián)方式，這里就不展開了，可以很快速的得到阻抗是R4 R1//[R3 (R1//R5)].
現(xiàn)在公式中的所有參數(shù)都計算出來了，只要講數(shù)據(jù)帶入就能得到最后的傳遞函數(shù)表達式：
最后公式看起來稍微有些復(fù)雜，但是通過軟件化簡，得到的結(jié)果就簡單了。實際表達式復(fù)雜也從一方面反應(yīng)了，要是用節(jié)點法得到這個表示式會更加麻煩的。這個帖子主要是解釋T型網(wǎng)絡(luò)的快速求解法，所以最好表達式是什么樣就是什么樣，不用刻意追求一個極簡 表達式。
用兩個例子應(yīng)該是清楚自然的介紹了在復(fù)雜電路網(wǎng)絡(luò)下求解傳遞函數(shù)的方法。各位網(wǎng)友可以嘗試用兩種方法計算傳遞函數(shù)，看哪一種方法更加方便快捷。
如果想理解這個快速求解的來源，實際是EET原理的舉例說明，詳細內(nèi)容可在IEEE上面搜索有相應(yīng)的論文介紹，也可以去B站看原理的介紹，這里推薦視頻查看[size=14.6667px]https://www.bilibili.com/video/BV1Xv411J7sw?from=search
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