本文來源于數(shù)據(jù)分析與可靠性工程實踐
“采用某型現(xiàn)役運載火箭在特定發(fā)射場實施航天發(fā)射活動”是一個具有隨機特性的事件。
“采用某型現(xiàn)役運載火箭 在特定發(fā)射場實施一次航天發(fā)射活動 ” 是針對這個事件的一次 隨機試驗 。
“成功”、“部分成功”和“失敗”這三種結(jié)果組成了該隨機試驗的樣本空間。三個可能的結(jié)果稱為該樣本空間的樣本點。
“采用某型現(xiàn)役運載火箭在特定發(fā)射場實施一次航天發(fā)射活動”的隨機試驗中,“采用某型現(xiàn)役運載火箭在特定發(fā)射場實施一次航天發(fā)射活動并取得成功”是該隨機試驗的一個隨機事件。
——引自《運載火箭發(fā)射任務(wù)看航天工程的隨機特性》
“數(shù)據(jù)分析與可靠性工程實踐”公眾號
在上一篇文章中,我們以運載火箭發(fā)射任務(wù)為例,討論了航天工程的隨機特性,并根據(jù)專業(yè)判定條件,論述了“采用某型現(xiàn)役運載火箭在特定發(fā)射場實施一次航天發(fā)射活動并取得成功”是某隨機試驗的一個隨機事件。(隨機事件是隨機試驗的樣本空間的一個子集)
綜述
對于一個隨機事件來說,它在一次隨機試驗中可能發(fā)生,也可能不發(fā)生。我們常常希望知道某些隨機事件在一次隨機試驗中發(fā)生的可能性究竟有多大。
我們希望找到一個合適的數(shù)來表示特定隨機事件在一次隨機試驗中發(fā)生的可能性大小。為此,首先引入頻率的概念,它描述了隨機事件發(fā)生的頻繁程度,進(jìn)而引出表征隨機事件在一次隨機試驗中發(fā)生的可能性大小的數(shù)——概率。
同樣以運載火箭發(fā)射任務(wù)為例,以上內(nèi)容可以表述為:“采用某型現(xiàn)役運載火箭在特定發(fā)射場實施一次航天發(fā)射活動并取得成功”這一隨機事件在一次發(fā)射任務(wù)中,有可能發(fā)生—即任務(wù)成功,也有可能不發(fā)生—即任務(wù)失敗或部分成功。而我們希望找到一個合適的數(shù)來表示在一次發(fā)射任務(wù)中“發(fā)射成功”這一隨機事件的可能性。
一、頻率
我們首先引入了一個參數(shù),稱為“頻率”。頻率是這樣定義的。
在相同條件下,進(jìn)行n次隨機試驗,并觀測結(jié)果,其中,隨機事件A(隨機試驗結(jié)果之一)發(fā)生了nA次,nA次稱為隨機事件A在n次隨機試驗發(fā)生的頻數(shù)。
其實,頻數(shù)就是隨機事件發(fā)生的次數(shù),但是,需要加上總試驗次數(shù)n的限制條件,就好像說“相親失敗2次”和“相親2次、失敗2次”的差別,前者是次數(shù),后者是頻數(shù),仔細(xì)想想,兩者還是有差別的。
隨機事件A發(fā)生的頻數(shù)nA和隨機試驗總次數(shù)n的比值nA/n,稱為事件A在n次隨機試驗中的發(fā)生頻率,記為fn(A)。
現(xiàn)在來對照討論運載火箭發(fā)射任務(wù)。
我們?yōu)榱嗣枋鰡未伟l(fā)射任務(wù)成功的可能性,引入了一個單次發(fā)射成功事件的“頻率”的概念。成功“頻率”表示:在進(jìn)行n次發(fā)射活動(n次隨機試驗)的情況下,發(fā)射成功的次數(shù)(成功事件A發(fā)生的頻數(shù))nA,與總發(fā)射次數(shù)n的比值:nA/n,稱為在n次發(fā)射中,發(fā)射成功的頻率,記為fn(A)。
這個貌似不太好理解,舉個例子。
以下引自“百度百科”——截至2020年3月9日,……長征系列運載火箭已進(jìn)行327次發(fā)射,發(fā)射成功率達(dá)95.41%。
經(jīng)過記錄查詢,計算長征系列運載火箭發(fā)射成功率的基本數(shù)據(jù)是327次發(fā)射,其中312次成功,15次失敗,發(fā)射成功率計算為312/327≈95.41%。
是不是有個感覺,這個發(fā)射成功率的計算過程,和隨機事件的頻率計算好像啊!
如果將長征系列運載火箭實施發(fā)射任務(wù)作為隨機試驗,該隨機試驗的可能結(jié)果只有“成功”和“失敗”兩種(這個靠我們?nèi)藶槎x,為計算方便,很多時候,我們把隨機試驗的樣本空間定義成只有兩個結(jié)果狀態(tài))。
接下來我們會發(fā)現(xiàn):“長征系列運載火箭實施發(fā)射任務(wù)并取得成功”,這個事件在該隨機試驗中,構(gòu)成了一個隨機事件(樣本空間的一個子集,另一個是“發(fā)射任務(wù)失敗”)。
該隨機事件在n次隨機試驗中出現(xiàn)的次數(shù)稱為該隨機事件的頻數(shù)nA,那么“長征系列運載火箭實施發(fā)射任務(wù)并取得成功”這個隨機事件在327次“長征系列運載火箭實施發(fā)射任務(wù)”這個隨機試驗中出現(xiàn)了312次,即其頻數(shù)nA為312,那么該隨機事件在該327次隨機試驗中發(fā)生的頻率記為fn(A)=nA/n=312/327≈95.41%。
怎么樣,很嚴(yán)謹(jǐn)吧!我們所說的發(fā)射成功率,在專業(yè)上,其實就是“發(fā)射成功”事件的頻率,當(dāng)然,這個還是要加上發(fā)射總次數(shù)的限定條件的。
當(dāng)然,從專業(yè)上還有個最關(guān)鍵的問題沒有解決,“長征系列運載火箭實施發(fā)射任務(wù)”這個是隨機試驗嗎?這個是最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯栴},以后會詳細(xì)討論。現(xiàn)在,我們假定它是。
有了頻率這個參數(shù),就能夠表達(dá)“隨機事件在一次隨機試驗中發(fā)生的可能性究竟有多大”了。現(xiàn)實中,我們在大多數(shù)情況下也是這么用的,有什么問題嗎?
在航天工程中,我們計算運載火箭發(fā)射成功的可能性大小,其主要目的是風(fēng)險決策。
比如,假設(shè)運載能力相當(dāng),在選擇運載火箭型號執(zhí)行任務(wù)時,到底選哪一型比較好呢?決策依據(jù)之一,就可以是“哪一型火箭的成功可能性大”。
假設(shè)有一型較為成熟的A型運載火箭,前期已經(jīng)發(fā)射66次,成功62次,失敗4次,發(fā)射成功率為62/66≈93.94%;此時,另一個B型運載火箭已發(fā)射8次,全部成功,發(fā)射成功率為100%。按照發(fā)射成功率進(jìn)行比較選型,我們應(yīng)該選擇B型,但是,有經(jīng)驗的工程決策者可能不這么想。
另一個典型的例子是:假設(shè)有一型新運載火箭首飛成功了,那么按照發(fā)射成功率計算,該型火箭發(fā)射成功事件的頻率是100%,按照這個頻率的指標(biāo),我們認(rèn)為它執(zhí)行下次任務(wù)成功的可能性就是100%。
顯然新型火箭只執(zhí)行一次成功的飛行任務(wù)不能代表其成功可能性達(dá)到了100%。另一方面,如果在執(zhí)行第二次飛行任務(wù)時,出現(xiàn)了失利,此時,我們計算的成功率則會降為50%。如果,運載火箭在這兩次發(fā)射之間沒有變化,意味著我們對于同一個隨機事件的發(fā)生可能性估計是變化的。如果不能給這樣的結(jié)果一個合理的解釋,工程人員以后就不會再相信這種可能性估計的結(jié)果了。(目前工程中的現(xiàn)實情況其實就是這樣的,以后還有詳細(xì)討論)
總結(jié)起來,用隨機事件在隨機試驗中計算出的頻率,作為衡量該隨機事件發(fā)生可能性大小的參數(shù),會存在對事件可能性描述不嚴(yán)謹(jǐn)、可能性結(jié)果的隨機波動性較大等問題。
二、概率
通過專業(yè)的隨機試驗(多次重復(fù)同一試驗),人們發(fā)現(xiàn)當(dāng)隨機試驗的數(shù)量達(dá)到足夠多的的時候,特定隨機事件的發(fā)生頻率的波動會逐漸減小而趨近于一個穩(wěn)定的常數(shù),例如,歷史上有多人實施了多次的拋硬幣試驗,獲得的數(shù)據(jù)如表所示。
實驗者 | 總試驗次數(shù)n | 正面向上的次數(shù)nA | 正面向上事件的頻率nA/n |
---|---|---|---|
德·摩根 | 2048 | 1061 | 0.5181 |
蒲豐 | 4040 | 2048 | 0.5069 |
K·皮爾遜 | 12000 | 6019 | 0.5016 |
K·皮爾遜 | 24000 | 12012 | 0.5005 |
當(dāng)隨機試驗次數(shù)足夠大時,試驗結(jié)果所表現(xiàn)出的這種“頻率穩(wěn)定性”即通常所說的統(tǒng)計性規(guī)律,不斷地為人類的實踐所證實,它揭示了隱藏在隨機現(xiàn)象中的規(guī)律性。我們用這個頻率穩(wěn)定值來表示事件發(fā)生的可能性大小是合適的。而這種在大數(shù)量隨機試驗條件下,特定隨機事件發(fā)生頻率趨向的穩(wěn)定常數(shù),就是我們?nèi)粘Kf的概率。(嚴(yán)格的講,這是對概率的一種最為常見解釋)
三、小結(jié)
在大多數(shù)情況下,我們認(rèn)為任何一個隨機試驗中的隨機事件都會具備一個固定的發(fā)生可能性,而這種可能性稱為該隨機事件的發(fā)生概率,它可以通過接近無窮多次的隨機試驗表現(xiàn)出來。而如果在少量的隨機試驗中,所表現(xiàn)出的隨機事件發(fā)生的頻率,將會圍繞該隨機事件的概率上下波動。
也就是說,對于“采用某型現(xiàn)役運載火箭在特定發(fā)射場實施一次航天發(fā)射活動”這一隨機試驗,“采用某型現(xiàn)役運載火箭在特定發(fā)射場實施一次航天發(fā)射活動并取得成功”是它的一個隨機事件,該隨機事件一定存在一個表征其發(fā)生可能性的常數(shù),稱為“采用某型現(xiàn)役運載火箭在特定發(fā)射場實施一次航天發(fā)射活動并取得成功”的概率,簡稱“任務(wù)成功概率”。而在少量次數(shù)的發(fā)射任務(wù)中,發(fā)射任務(wù)成功的占比,即任務(wù)成功率或任務(wù)成功頻率,將圍繞其概率上下波動。
在專業(yè)上,任務(wù)成功率(頻率)和任務(wù)成功概率是不一樣的,兩者既有聯(lián)系又有區(qū)別。
在工程中,使用概率表示某隨機事件的可能性,相對于頻率參數(shù)而言,更為嚴(yán)謹(jǐn)和穩(wěn)定。然而,采用概率參數(shù)度量發(fā)生可能性關(guān)鍵是:概率參數(shù)值如何獲得。
因為我們不可能使隨機試驗(運載火箭發(fā)射任務(wù))的次數(shù)趨近于無窮大,那是不是意味著雖然我們定義了一個理想的概率參數(shù),卻沒有有效的獲取該參數(shù)數(shù)值的辦法。
如果是這樣的話,概率參數(shù)也就失去了存在的意義。
生存還是毀滅,這是一個值得考慮的問題;
默然忍受命運暴虐的毒箭,
或是挺身反抗人世無涯的苦難,
通過斗爭把它們清掃,
這兩種行為,哪一種更高貴?
——引自《哈姆雷特》
(后續(xù)文章著重討論概率的獲取方法,敬請期待)
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