摘要：提出了素多項(xiàng)式同組的概念，并對(duì)由同組的素多項(xiàng)式構(gòu)成的組合BCH碼在碼長(zhǎng)、信息位長(zhǎng)度、階數(shù)等方面的特性進(jìn)行了研究和分析。同時(shí)，還對(duì)組合BCH碼經(jīng)過群變換后產(chǎn)生的類正交矩陣進(jìn)行了研究。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)構(gòu)成組合BCH碼的素多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)越多時(shí)，類正交矩陣的行類正交性越好，列類正交性越差。最后，將組合BCH碼的類正交矩陣用于CDMA通信系統(tǒng)中，并分析了在構(gòu)成組合BCH碼的素多項(xiàng)式個(gè)數(shù)不同的情況下，行和列分別作為多用戶編碼時(shí)的誤碼率。
關(guān)鍵詞：組合BCH碼；類正交矩陣；CDMA；誤碼率

    BCH碼最早是由霍昆格姆(Hocquenghem)在1959年、博斯(Bose)和查德胡里(Chandhair)在1960年各自提出的，它是一類重要的循環(huán)碼，能糾正多個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤。本文中由BCH碼或者BCH碼組合得到的生成多項(xiàng)式，采用群變換編碼方法，可以得到一種具有類正交特性的矩陣。利用矩陣的類正交特性，將其用于碼分多址的多用戶傳輸，此外，也可以將這種矩陣用于擴(kuò)譜通信和通信加密等方面。

1 BCH碼的組合特性
1．1 BCH碼的產(chǎn)生
    對(duì)于BCH碼中的一個(gè)素多項(xiàng)式：
   
    式中：xi僅表明其系數(shù)(1或0)ci的值，x本身的取值并無實(shí)際的含義。BCH碼的生成多項(xiàng)式g(x)可以由一個(gè)素多項(xiàng)式構(gòu)成，也可以由若干個(gè)素多項(xiàng)式組合而成。
    BCH的碼長(zhǎng)n一般是2m-1或是2m-1的因子，通常把碼長(zhǎng)為2m-l的BCH碼稱為本原BCH碼，而把碼長(zhǎng)為2m-1因子的BCH碼稱為非本原BCH碼。
1．2 BCH碼的組合特性
    由BCH碼的定義可知，對(duì)于(n，k)的生成多項(xiàng)式g(x)，它的階數(shù)為m，則由g(x)產(chǎn)生的BCH碼的碼長(zhǎng)n為2m-1或2m-1的因子。將這些生成多項(xiàng)式的階數(shù)等于m，碼長(zhǎng)為n是2m-1或是2m-1的因子的素多項(xiàng)式放在同一組中，稱為同組BCH碼素多項(xiàng)式。對(duì)于同組的素多項(xiàng)式，將他們中的一個(gè)或者多個(gè)素多項(xiàng)式進(jìn)行組合，可以得到組合BCH碼，即：
   
    由同組的素多項(xiàng)式構(gòu)成的組合BCH碼在碼長(zhǎng)、信息位長(zhǎng)度和階數(shù)等方面具有一些特殊的性質(zhì)。組合BCH碼的最高項(xiàng)次數(shù)為：
   

2 組合BCH碼的類正交特性
2．1 互相關(guān)系數(shù)
    在判斷一個(gè)矩陣的正交特性的時(shí)候，往往會(huì)用到互相關(guān)系數(shù)這個(gè)概念。
    在一個(gè)矩陣中，設(shè)各個(gè)碼組的編碼長(zhǎng)度為n，每個(gè)碼元只取+1和-1，x和y是該矩陣中的兩個(gè)碼組：
   
    若碼組x和y正交，則必有ρ(x，y)=0；若碼組x和y不正交，則ρ(x，y)≠0，并且當(dāng)碼組x和y的相關(guān)性越小時(shí)，它們的相關(guān)系數(shù)ρ(x，y)越??；當(dāng)碼組本身與本身相乘時(shí)，有ρ(x，x)=1。
2．2 類正交矩陣的產(chǎn)生
    在(n，k)的BCH碼中，它的碼長(zhǎng)為n，信息位長(zhǎng)度為k，BCH碼的生成多項(xiàng)式g(x)的最高階數(shù)為m，并且滿足k=n-m。
    首先，根據(jù)BCH碼的生成多項(xiàng)式g(x)，運(yùn)用群變換的編碼方法，產(chǎn)生生成矩陣G，它是一個(gè)k×n的矩陣。
   
    群變換后的生成矩陣G可以分為兩個(gè)部分，前半部分是一個(gè)k×k階的單位矩陣Ik，后半部分，稱之為P矩陣，它是一個(gè)k×m階的矩陣，即：

    由此可以得到P矩陣的變換矩陣P’，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，P’矩陣的行向量與行向量、列向量與列向量之間的自相關(guān)性很強(qiáng)，互相關(guān)性很弱，這說明該矩陣具有類正交性，因此稱P’矩陣是一種類正交矩陣。
2．3 組合BCH碼的類正交性
    對(duì)于同組的BCH碼，由前面的BCH碼的組合特性可知，在同組的素多項(xiàng)式中，如果將其中的t個(gè)素多項(xiàng)式組合，得到組合BCH碼的碼長(zhǎng)nt=n =2m-1，階數(shù)mt=tm，信息位長(zhǎng)度為k=nt-mt=n-tm，則組合BCH碼得到的類正交矩陣P’的大小為：
    kt×mt=(n-tm)×tm       (10)
    由上式可以看出，對(duì)于類正交矩陣P’來說，當(dāng)組合的素多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)越多，即t越大，那么它的行數(shù)就越少(n-tm越小)，它的列數(shù)就越多(tm越大)。對(duì)于類正交矩陣P’中的行向量來說，由于t變大，那么每行的碼元個(gè)數(shù)(每行的碼元個(gè)數(shù)就等于列數(shù))也會(huì)增多，隨著碼元個(gè)數(shù)的增多，其中“-1”和“1”的個(gè)數(shù)也趨于平衡，所以行向量之間的類正交性越好，即行向量之間的互相關(guān)系數(shù)越?。欢鴮?duì)于類正交矩陣P’中的列向量來說，t變大使得每列的碼元個(gè)數(shù)(即行數(shù))減少，因此每列中“-1”和“1”的個(gè)數(shù)的平衡性越差，所以列向量之間的類正交性也越差，即行向量之間的互相關(guān)系數(shù)變大。
    圖1，圖2是在階數(shù)為8，碼長(zhǎng)為255的同組中選取不同素多項(xiàng)式進(jìn)行組合，t=4和t=8時(shí)的類正交圖。

    t=4時(shí)，行向量的互相關(guān)系數(shù)小于0．2的占總數(shù)的75．88％，列向量的互相關(guān)系數(shù)小于0．2的占總數(shù)的96．68％；t=8時(shí)，行向量的互相關(guān)系數(shù)小于0．2的占總數(shù)的84．98％，列向量的互相關(guān)系數(shù)小于0．2的占總數(shù)的93．35％。由此可見，當(dāng)t越大，行向量之間的類正交性越好，列向量之間的類正交性越差。

3 組合BCH碼在CDMA系統(tǒng)中的應(yīng)用
3．1 CDMA系統(tǒng)
    CDMA(Code-Division Multiple Access，碼分多址)是近幾年來在數(shù)字移動(dòng)通信進(jìn)程中出現(xiàn)的一種先進(jìn)的無線擴(kuò)頻通信技術(shù)。碼分多址用各自不同的編碼序列來區(qū)分，它利用了碼之間的正交性，在同時(shí)、同頻的情況下對(duì)多個(gè)用戶進(jìn)行復(fù)用通信。
    在碼分多址通信中，設(shè)有n個(gè)用戶，每個(gè)用戶所用的碼分別為w1(t)，w2(t)，…，wn(t)，互相正交，用戶碼的持續(xù)期為T，即：
   
    每個(gè)用戶的信息分別為m1(t)，m2(t)，…，mn(t)，則第i個(gè)用戶信號(hào)：si(t)=mi(t)wi(t)，則n個(gè)用戶碼分復(fù)用后多用戶信號(hào)為：
   
    由于用于碼分多址通信的用戶碼之間具有正交性，在接收端將接收到的信息與正交編碼相乘，即可分離出相應(yīng)的用戶信息：
    mi(t)=s(t)wi(t)=mi(t)     (13)
3．2 組合BCH碼在CDMA系統(tǒng)中的應(yīng)用
    由前面的內(nèi)容可知，由BCH碼的生成多項(xiàng)式經(jīng)過群變換編碼后產(chǎn)生的P’矩陣，是一種具有類正交性的矩陣。而在CDMA通信系統(tǒng)中，需要用正交的編碼序列來對(duì)多路用戶信號(hào)進(jìn)行編碼。因此用這種類正交矩陣來代替walsh矩陣，用于CDMA。由于P’矩陣中的任意行或者任意列之間不完全正交，即互相關(guān)系數(shù)不全為0，所以不論用行作為編碼序列，還是用列作為編碼序列，在解碼的時(shí)候，所得結(jié)果都會(huì)存在一定的誤差。雖然行與行或者列與列之間的互相關(guān)系數(shù)不全為0，但是他們的互相關(guān)性還是很弱的(即互相關(guān)系數(shù)接近于0)，所以存在的誤差對(duì)最終還原出來的用戶信號(hào)的影響并不會(huì)很明顯。圖3是用P矩陣中的列作為正交編碼進(jìn)行多用戶傳輸后，恢復(fù)出來的信息與原信息的比較，圖中虛線表示原信息，實(shí)線表示恢復(fù)的用戶信號(hào)。由圖3可以看出，用類正交矩陣進(jìn)行碼分多址的多用戶傳輸可以較好地恢復(fù)出各路用戶的信息。

4 結(jié)語
    屬于同組的t個(gè)素多項(xiàng)式可以進(jìn)行任意組合，構(gòu)成的組合BCH碼的碼長(zhǎng)n’=2m-1，階數(shù)mt=tm，信息位kt=n-tm(n>tm)。由此BCH碼經(jīng)過群變換后產(chǎn)生的類正交矩陣P’的大小為(n-tm)×tm，t越大，類正交矩陣中行越少，列越多，即每行的碼元數(shù)越多，而每列的碼元數(shù)越少，因此其行的類正交性越好，列的類正交性越差。這里將類正交矩陣P’用于CDMA進(jìn)行多用戶傳輸，雖然存在一定的誤差，但是基本恢復(fù)出原信號(hào)。除了將類正交矩陣應(yīng)用于CDMA之外，還可以將它用于擴(kuò)譜通信、通信加密及分離多徑等方面，因此這種類正交矩陣具有廣闊的應(yīng)用前景。