? ?——更新于2014.6.6，想直接看更新的同學可以直接跳到第四章————

我保證這篇文章和你以前看過的所有文章都不同，這是 2012 年還在果殼的時候寫的，但是當時沒有來得及寫完就出國了……于是拖了兩年，嗯，我是拖延癥患者……

這篇文章的核心思想就是：

要讓讀者在不看任何數(shù)學公式的情況下理解傅里葉分析。

傅里葉分析不僅僅是一個數(shù)學工具，更是一種可以徹底顛覆一個人以前世界觀的思維模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來太復雜了，所以很多大一新生上來就懵圈并從此對它深惡痛絕。老實說，這么有意思的東西居然成了大學里的殺手課程，不得不歸咎于編教材的人實在是太嚴肅了。（您把教材寫得好玩一點會死嗎？會死嗎？）所以我一直想寫一個有意思的文章來解釋傅里葉分析，有可能的話高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這里的您從事何種工作，我保證您都能看懂，并且一定將體會到通過傅里葉分析看到世界另一個樣子時的快感。至于對于已經有一定基礎的朋友，也希望不要看到會的地方就急忙往后翻，仔細讀一定會有新的發(fā)現(xiàn)。

————以上是定場詩————

下面進入正題：

抱歉，還是要啰嗦一句：其實學習本來就不是易事，我寫這篇文章的初衷也是希望大家學習起來更加輕松，充滿樂趣。但是千萬！千萬不要把這篇文章收藏起來，或是存下地址，心里想著：以后有時間再看。這樣的例子太多了，也許幾年后你都沒有再打開這個頁面。無論如何，耐下心，讀下去。這篇文章要比讀課本要輕松、開心得多……

一、什么是頻域

從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發(fā)生改變。這種以時間作為參照來觀察動態(tài)世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當然的認為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，并且永遠不會靜止下來。但如果我告訴你，用另一種方法來觀察世界的話，你會發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，你會不會覺得我瘋了？我沒有瘋，這個靜止的世界就叫做頻域。

先舉一個公式上并非很恰當，但意義上再貼切不過的例子：

在你的理解中，一段音樂是什么呢？

這是我們對音樂最普遍的理解，一個隨著時間變化的震動。但我相信對于樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的：

好的！下課，同學們再見。

是的，其實這一段寫到這里已經可以結束了。上圖是音樂在時域的樣子，而下圖則是音樂在頻域的樣子。所以頻域這一概念對大家都從不陌生，只是從來沒意識到而已。

現(xiàn)在我們可以回過頭來重新看看一開始那句癡人說夢般的話：世界是永恒的。

將以上兩圖簡化：

時域：

頻域：

在時域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會上一會下的擺動，就如同一支股票的走勢；而在頻域，只有那一個永恒的音符。

所以

你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章。

抱歉，這不是一句雞湯文，而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同學告訴我們，任何周期函數(shù)，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加。在第一個例子里我們可以理解為，利用對不同琴鍵不同力度，不同時間點的敲擊，可以組合出任何一首樂曲。

而貫穿時域與頻域的方法之一，就是傳中說的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)，我們從簡單的開始談起。

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二、傅里葉級數(shù)(Fourier Series)的頻譜

還是舉個栗子并且有圖有真相才好理解。

如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個帶 90 度角的矩形波來，你會相信嗎？你不會，就像當年的我一樣。但是看看下圖：

第一幅圖是一個郁悶的正弦波 cos（x）

第二幅圖是 2 個賣萌的正弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x)

第三幅圖是 4 個發(fā)春的正弦波的疊加

第四幅圖是 10 個便秘的正弦波的疊加

隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長，他們最終會疊加成一個標準的矩形，大家從中體會到了什么道理？

（只要努力，彎的都能掰直?。?/p>

隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個矩形就這么疊加而成了。但是要多少個正弦波疊加起來才能形成一個標準 90 度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個。（上帝：我能讓你們猜著我？）

不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個難點，但是一旦接受了這樣的設定，游戲就開始有意思起來了。

還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個角度來看看：

在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個波的振幅都是不同的。一定有細心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每兩個正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線，而是振幅為 0 的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。

這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。

好了，關鍵的地方來了?。?/p>

如果我們把第一個頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構建頻域的最基本單元。

對于我們最常見的有理數(shù)軸，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。

（好吧，數(shù)學稱法為——基。在那個年代，這個字還沒有其他奇怪的解釋，后面還有正交基這樣的詞匯我會說嗎?）

時域的基本單元就是“1 秒”，如果我們將一個角頻率為的正弦波 cos（t）看作基礎，那么頻域的基本單元就是。

有了“1”，還要有“0”才能構成世界，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個周期無限長的正弦波，也就是一條直線！所以在頻域，0 頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級數(shù)的疊加中，它僅僅影響全部波形相對于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。

接下來，讓我們回到初中，回憶一下已經死去的八戒，啊不，已經死去的老師是怎么定義正弦波的吧。

正弦波就是一個圓周運動在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個始終在旋轉的圓

想看動圖的同學請戳這里：

File:Fourier series square wave circles animation.gif

以及這里：

File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif

點出去的朋友不要被 wiki 拐跑了，wiki 寫的哪有這里的文章這么沒節(jié)操是不是。

介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個矩形波，在頻域里的另一個模樣了：

這是什么奇怪的東西？

這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認不出來了？教科書一般就給到這里然后留給了讀者無窮的遐想，以及無窮的吐槽，其實教科書只要補一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜，就是——

再清楚一點：

可以發(fā)現(xiàn)，在頻譜中，偶數(shù)項的振幅都是0，也就對應了圖中的彩色直線。振幅為 0 的正弦波。

動圖請戳：

File:Fourier series and transform.gif

老實說，在我學傅里葉變換時，維基的這個圖還沒有出現(xiàn)，那時我就想到了這種表達方法，而且，后面還會加入維基沒有表示出來的另一個譜——相位譜。

但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個例子究竟意味著什么。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎？估計好多人對這句話都已經吐槽半天了。想象一下，世界上每一個看似混亂的表象，實際都是一條時間軸上不規(guī)則的曲線，但實際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時域上的投影，而正弦波又是一個旋轉的圓在直線上的投影。那么你的腦海中會產生一個什么畫面呢？

我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無數(shù)的齒輪，大齒輪帶動小齒輪，小齒輪再帶動更小的。在最外面的小齒輪上有一個小人——那就是我們自己。我們只看到這個小人毫無規(guī)律的在幕布前表演，卻無法預測他下一步會去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠一直那樣不停的旋轉，永不停歇。這樣說來有些宿命論的感覺。說實話，這種對人生的描繪是我一個朋友在我們都是高中生的時候感嘆的，當時想想似懂非懂，直到有一天我學到了傅里葉級數(shù)……

三、傅里葉級數(shù)（Fourier Series）的相位譜

上一章的關鍵詞是：從側面看。這一章的關鍵詞是：從下面看。

在這一章最開始，我想先回答很多人的一個問題：傅里葉分析究竟是干什么用的？這段相對比較枯燥，已經知道了的同學可以直接跳到下一個分割線。

先說一個最直接的用途。無論聽廣播還是看電視，我們一定對一個詞不陌生——頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個通道來進行信息傳輸。下面大家嘗試一件事：

先在紙上畫一個sin（x），不一定標準，意思差不多就行。不是很難吧。

好，接下去畫一個sin（3x）+sin（5x）的圖形。

別說標準不標準了，曲線什么時候上升什么時候下降你都不一定畫的對吧？

好，畫不出來不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給你，但是前提是你不知道這個曲線的方程式，現(xiàn)在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去，看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的。

但是在頻域呢？則簡單的很，無非就是幾條豎線而已。

所以很多在時域看似不可能做到的數(shù)學操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是信號處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。

再說一個更重要，但是稍微復雜一點的用途——求解微分方程。（這段有點難度，看不懂的可以直接跳過這段）微分方程的重要性不用我過多介紹了。各行各業(yè)都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當麻煩的事情。因為除了要計算加減乘除，還要計算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统?，大學數(shù)學瞬間變小學算術有沒有。

傅里葉分析當然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。

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下面我們繼續(xù)說相位譜：

通過時域到頻域的變換，我們得到了一個從側面看的頻譜，但是這個頻譜并沒有包含時域中全部的信息。因為頻譜只代表每一個對應的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位?；A的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對于頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個相位譜。那么這個相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用7個波疊加的圖。

鑒于正弦波是周期的，我們需要設定一個用來標記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點。小紅點是距離頻率軸最近的波峰，而這個波峰所處的位置離頻率軸有多遠呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點投影到下平面，投影點我們用粉色點來表示。當然，這些粉色的點只標注了波峰距離頻率軸的距離，并不是相位。

這里需要糾正一個概念：時間差并不是相位差。如果將全部周期看作2Pi或者360度的話，相位差則是時間差在一個周期中所占的比例。我們將時間差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。

在完整的立體圖中，我們將投影得到的時間差依次除以所在頻率的周期，就得到了最下面的相位譜。所以，頻譜是從側面看，相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發(fā)現(xiàn)的話，可以告訴她：“對不起，我只是想看看你的相位譜。”

注意到，相位譜中的相位除了0，就是Pi。因為cos（t+Pi）=-cos（t），所以實際上相位為Pi的波只是上下翻轉了而已。對于周期方波的傅里葉級數(shù)，這樣的相位譜已經是很簡單的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域為(-pi，pi]，所以圖中的相位差均為Pi。

最后來一張大集合：

四、傅里葉變換（Fourier Tranformation）

相信通過前面三章，大家對頻域以及傅里葉級數(shù)都有了一個全新的認識。但是文章在一開始關于鋼琴琴譜的例子我曾說過，這個栗子是一個公式錯誤，但是概念典型的例子。所謂的公式錯誤在哪里呢？

傅里葉級數(shù)的本質是將一個周期的信號分解成無限多分開的（離散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的。曾經在學數(shù)字信號處理的時候寫過一首打油詩：

往昔連續(xù)非周期， 回憶周期不連續(xù)， 任你ZT、DFT， 還原不回去。

（請無視我渣一樣的文學水平……）

在這個世界上，有的事情一期一會，永不再來，并且時間始終不曾停息地將那些刻骨銘心的往昔連續(xù)的標記在時間點上。但是這些事情往往又成為了我們格外寶貴的回憶，在我們大腦里隔一段時間就會周期性的蹦出來一下，可惜這些回憶都是零散的片段，往往只有最幸福的回憶，而平淡的回憶則逐漸被我們忘卻。因為，往昔是一個連續(xù)的非周期信號，而回憶是一個周期離散信號。

是否有一種數(shù)學工具將連續(xù)非周期信號變換為周期離散信號呢？抱歉，真沒有。

比如傅里葉級數(shù)，在時域是一個周期且連續(xù)的函數(shù)，而在頻域是一個非周期離散的函數(shù)。這句話比較繞嘴，實在看著費事可以干脆回憶第一章的圖片。

而在我們接下去要講的傅里葉變換，則是將一個時域非周期的連續(xù)信號，轉換為一個在頻域非周期的連續(xù)信號。

算了，還是上一張圖方便大家理解吧：

或者我們也可以換一個角度理解：傅里葉變換實際上是對一個周期無限大的函數(shù)進行傅里葉變換。

所以說，鋼琴譜其實并非一個連續(xù)的頻譜，而是很多在時間上離散的頻率，但是這樣的一個貼切的比喻真的是很難找出第二個來了。

因此在傅里葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續(xù)譜。那么連續(xù)譜是什么樣子呢？

你見過大海么？

為了方便大家對比，我們這次從另一個角度來看頻譜，還是傅里葉級數(shù)中用到最多的那幅圖，我們從頻率較高的方向看。

以上是離散譜，那么連續(xù)譜是什么樣子呢？

盡情的發(fā)揮你的想象，想象這些離散的正弦波離得越來越近，逐漸變得連續(xù)……

直到變得像波濤起伏的大海：

很抱歉，為了能讓這些波浪更清晰的看到，我沒有選用正確的計算參數(shù)，而是選擇了一些讓圖片更美觀的參數(shù)，不然這圖看起來就像屎一樣了。

不過通過這樣兩幅圖去比較，大家應該可以理解如何從離散譜變成了連續(xù)譜的了吧？原來離散譜的疊加，變成了連續(xù)譜的累積。所以在計算上也從求和符號變成了積分符號。

不過，這個故事還沒有講完，接下去，我保證讓你看到一幅比上圖更美麗壯觀的圖片，但是這里需要介紹到一個數(shù)學工具才能然故事繼續(xù)，這個工具就是——

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五、宇宙耍帥第一公式：歐拉公式

虛數(shù)i這個概念大家在高中就接觸過，但那時我們只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意義是什么呢?

這里有一條數(shù)軸，在數(shù)軸上有一個紅色的線段，它的長度是1。當它乘以 3 的時候，它的長度發(fā)生了變化，變成了藍色的線段，而當它乘以-1 的時候，就變成了綠色的線段，或者說線段在數(shù)軸上圍繞原點旋轉了 180 度。

我們知道乘-1 其實就是乘了兩次 i 使線段旋轉了 180 度，那么乘一次 i 呢——答案很簡單——旋轉了 90 度。

同時，我們獲得了一個垂直的虛數(shù)軸。實數(shù)軸與虛數(shù)軸共同構成了一個復數(shù)的平面，也稱復平面。這樣我們就了解到，乘虛數(shù)i的一個功能——旋轉。

現(xiàn)在，就有請宇宙第一耍帥公式歐拉公式隆重登場——

這個公式在數(shù)學領域的意義要遠大于傅里葉分析，但是乘它為宇宙第一耍帥公式是因為它的特殊形式——當x等于 Pi 的時候。

經常有理工科的學生為了跟妹子表現(xiàn)自己的學術功底，用這個公式來給妹子解釋數(shù)學之美：”石榴姐你看，這個公式里既有自然底數(shù)e，自然數(shù) 1 和0，虛數(shù)i還有圓周率 pi，它是這么簡潔，這么美麗?。　暗枪媚飩冃睦锿挥幸痪湓挘骸背魧沤z……“

這個公式關鍵的作用，是將正弦波統(tǒng)一成了簡單的指數(shù)形式。我們來看看圖像上的涵義：

歐拉公式所描繪的，是一個隨著時間變化，在復平面上做圓周運動的點，隨著時間的改變，在時間軸上就成了一條螺旋線。如果只看它的實數(shù)部分，也就是螺旋線在左側的投影，就是一個最基礎的余弦函數(shù)。而右側的投影則是一個正弦函數(shù)。

關于復數(shù)更深的理解，大家可以參考：

復數(shù)的物理意義是什么？

這里不需要講的太復雜，足夠讓大家理解后面的內容就可以了。

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六、指數(shù)形式的傅里葉變換 <p style="border:0px;font-size:15px;color:rgb(46,46,46);font-family:'Microsoft YaHei', '宋體