1 系統(tǒng)框圖及設計基本原理

提出設計小波變換S I濾波器的CAD 方法， 具體見框圖1。先由用戶選擇小波基， 即確定高斯函數(shù)的參數(shù)， 以及采用其第N 階導數(shù)作為小波基。然后， 選擇Pad 逼近的方式， 得到時域或頻域的有理分式之后， 可以利用SI濾波器的性質來用對應的SI單元電路的級聯(lián)結構實現(xiàn)， 從而運用了SI技術的優(yōu)點和性能優(yōu)勢。

使用Mat lab編程可以實現(xiàn)該CAD 系統(tǒng)， 它是一個窗口界面交互編程模式， 通過輸入數(shù)據(jù)及點擊菜單欄選擇相應的菜單， 從而完成系統(tǒng)框圖設計。采用M atlab可以實現(xiàn)Pad 逼近的小波基函數(shù)有理式逼近的算法， 通過從菜單輸入高斯函數(shù)導數(shù)的階數(shù)和尺度因子可以實現(xiàn)有理式表達式的CAD; 而SI電路具有模塊化設計的特點同時開關電流濾波器的時間常數(shù)由晶體管的寬長比或時鐘的頻率決定， 實現(xiàn)基本小波濾波器后只需要調節(jié)時鐘頻率即可實現(xiàn)不同尺度的其他濾波器。

圖1 系統(tǒng)框圖

1. 1 開關電流技術

S I電路由受時鐘控制的開關、電流鏡等電路構成， 利用MOS器件柵- 源間電容存儲效應實現(xiàn)對電流信號的處理。在實現(xiàn)線性離散電路系統(tǒng)設計時需要的基本單元有三個: 加法器， 乘法器和貯存單元;當用SI電路實現(xiàn)時， 其分別對應SI電路的基本單元為結點——電流信號的相加、比例電流鏡和S&H(取樣保持)單元， 這樣使電路的設計可以模塊化而大大簡化電路的設計。利用SI基本單元可以組成積分器而實現(xiàn)不同品質因數(shù)的濾波器， 最終達到小波變換電路設計的目的。

另外， 用信號流程圖的觀點來理解S I基本電路， 可以使系統(tǒng)傳輸函數(shù)的SI實現(xiàn)更明了。如通用積分器的SI電路設計， 可由同向輸入， 反向輸入和放大輸入疊加構成， 如圖2所示。

輸出電流為:

當i1 ( z ) = - i2 ( z ) = i( z ) /2， a1 = a2 = a 構成雙線性積分器， Z 域傳輸函數(shù)為:

圖2 通用積分器。

1. 2 小波基的選擇

高斯函數(shù)的通用表達式：

式中a是參數(shù)， 定義δa(n) q 為δa ( t)的N 階導數(shù):

若

( a 取為一個具體值) 則函數(shù)δa (n) ( t )滿足小波的可容許性條件， 可采用δa(n) ( t )作為小波基函數(shù)， 相應的函數(shù)f ( t)在尺度為b， 位置為t處的卷積型小波變換定義為:

可以證明， 其各階導數(shù)也是滿足小波函數(shù)的容差條件的， 采用高斯函數(shù)及其N 階導數(shù)為母小波。

1. 3 有理式的Pad 逼近

Pad 逼近具有: ( 1)計算簡便性——只要獲得要逼近函數(shù)的Tay lor展開， 再求線性方程組就可以獲得其有理逼近式; ( 2)應用廣泛——只要函數(shù)可以被展成Taylor級數(shù)就可以獲得其Pad 逼近式。這兩個特點使Pad 逼近十分適合于小波濾波器的實現(xiàn)。濾波器的傳輸函數(shù)通常表示為有理分式， Pad 逼近就是從冪級數(shù)出發(fā)獲得有理函數(shù)逼近式的一種十分有效而且簡潔的方法， 其思想就是對一個給定形式的冪級數(shù)構造一個有理函數(shù)， 稱之為Pad 逼近式， 使其Taylor級數(shù)展開有盡可能多的項與原來的冪級數(shù)相吻合。

Pad 變換的定義 如果存在有理分式函數(shù)PL ( s) /QL ( s) ∈ RL，M (PL ( s)與QM ( s)互質)滿足：

及：

0 0 則稱PL ( s) /QM ( s)為f ( s)在RL，M 中的Pad 逼近式， 記為[ L /M ] f ( s)， 或簡記為[L /M ]。上面的定義給出了求已知函數(shù)f ( s)有理表達式逼近方法。若記:

QM ( s)乘以式( 3)， 并比較等式兩邊1， s， s2， ……， sL +M的系數(shù)， 可p， p 1， ……， pL 及q0， q1， ……， qM 的線性方程組(稱為Pad 方程組):

及：

其中規(guī)定a ≡0， n < 0; qj ? 0， j > M。對方程組( 6)、( 7)求解， 可得到PL ( s)和QM ( s)的系數(shù)。根據(jù)測不準原理， 高斯函數(shù)的時間分辨率與頻率分辨率的乘積可以達到理論的最小值， 這樣， 用高斯函數(shù)族作為小波基函數(shù)， 在最大限度上解決了時寬和帶寬不相容的矛盾， 在時域和頻域均有較好的分辨率。

1. 4 雙二次積分器的性質

在對小波函數(shù)的頻域表達式進行Pad 變換后，就獲得其頻域的有理分式逼近。但是此時得到的表達式是S 域的， 而要運用S I基本單元模塊電路， 就要對表達式進行變換來轉化到Z 域， 這里可通過Z域綜合法來實現(xiàn)。采用開關電流基本單元為模塊的CAD設計可使電路設計在實現(xiàn)上模塊化、直觀化，便于靈活現(xiàn)實采用不同S - Z 轉化( FD、BD、BL、LD I)時不同結構的電路。FD (前向差分映射) ， BD(后向差分映射) ， LDI(無損離散積分映射) ， BL(雙線性積分映射)， 其中性能最好的是BL。

為了使電路的設計更加具有靈活性， 這里采用了S I雙二次濾波器的性質。即對具有如下傳輸函數(shù)表達式的濾波器， 有：

其中w0 是濾波器的特征頻率、Q 是品質因素。當a0、a1、a2 為不同的值時， 傳輸函數(shù)可以得到二階低通， 二階高通， 二階帶通， 二階全通濾波器函數(shù)。而式( 8)又可以由圖3所示的信號流程圖來表示。

圖3 雙二次濾波器信號流程圖

在進行S域到Z域的傳輸函數(shù)表達式轉換， 采取雙線性變換， 得到如圖4所示的流程圖， 對應的系數(shù)就可以很容易的算出來: k0 ~ k4 分別為：

其中( z+ 1) / ( z- 1)可以用開關電流雙線性積分器來實現(xiàn)， 系統(tǒng)通過這種S - Z 域轉化可以得到系統(tǒng)的框圖， 這里通過把SI電路基本單元框圖如雙線性積分器作為數(shù)據(jù)庫， 當有理表達式含有該項時讓CAD 系統(tǒng)自動調用該結構框圖然后級聯(lián)組成系統(tǒng)。

另外由于S - Z 是非線性變換， 還得求Z 域頻率， 即頻率預翹曲公式來處理:

其中， f s 為采樣頻率， fp 為S 域的頻率， f 為Z 域的頻率。

圖4 雙線性積分器實現(xiàn)的雙二次濾波器信號流程圖

2 舉例

設計舉例， 步驟如下:

( 1)小波基的選擇為確定高斯函數(shù)頻域表達式的參數(shù)及導數(shù)階數(shù)N 的值， 這里取高斯函數(shù)的一階導函數(shù)為小波基; 即對小波基設置窗口選擇a= 2-2， N = 1;( 2)進行Pad 逼近， 選擇[L /M ] Pad 逼近， 這里對Pad 逼近窗口設置為[ 3/5] Pad 逼近。就得到分子及分母的各項系數(shù)， 寫成頻域的有理表達式， 如下:[!--empirenews.page--]

改寫成為:

( 3)有理式的分解—— Z域綜合。選擇菜單選項中的BL變換， 對式( 9)應用上面介紹的框圖法，各個式子的對應關系如下。

通過可以變成H 1 ( z)的形式， 對應一反向有損積分器與同向有損積分器并聯(lián)相加組成; H 2 ( s ) =對應帶通濾波器， 如框圖第二行;則對應高通， 帶通， 低通濾波器的輸出之和， 如框圖第三行; 系統(tǒng)的框圖就能很容易得到如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)框圖

( 4)采用歸一化方法， 利用M atlab顯示原函數(shù)與逼近函數(shù)圖像對比， 可見逼近度是可以滿足一般要求的， 如圖6所示。

圖6 Pad 逼近的圖像

3 結論及結果分析

本文首次提出采用開關電流技術實現(xiàn)小波變換電路的一種CAD 方法。采用高斯函數(shù)族中的一階導數(shù)為母小波， 采用[ 3 /5 ] Pad 逼近得到其有理表達式。采用[ 3 /5] Pad 逼近能滿足要求， 要是想提高逼近度可采用高階Pad 逼近如[ 6 /10] Pad 逼近， 其均方差(MSE )可小至0. 19 % 10- 4， 但是相應的會提高成本; 又利用了SI基本模塊作為單元模塊通過編程來得到系統(tǒng)框圖結構。