0 前面的話

這篇文章肝了好久，控制有時候給人的感覺是披著數(shù)學(xué)外衣的，但是脫下外衣，發(fā)現(xiàn)還是控制，本文有一些基本的推導(dǎo)，無非是為最后的算法C實(shí)現(xiàn)做鋪墊，最終目的是能在實(shí)踐中進(jìn)行應(yīng)用和系統(tǒng)調(diào)優(yōu)。

這首歌是趙小雷在參加訪談節(jié)目錄制過程中即興演唱的作品，但這個無心之舉卻受到了眾多聽眾的喜愛，包括我，推薦給大家。

目錄

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• 1 先說噪聲

• 2 噪聲對于系統(tǒng)的影響

• 3 對于PID控制器的影響

• 4 加入濾波器

• 4.1 傳遞函數(shù)

• 4.2 串聯(lián)微分的等效形式反饋積分

• 5 C語言實(shí)現(xiàn)

• 6 參考

1? 先說噪聲

在電子設(shè)備等電路系統(tǒng)中，噪聲是不被系統(tǒng)需要的電信號；電子設(shè)備產(chǎn)生的噪聲會由于多種不同的影響而產(chǎn)生很大的差異。在通信系統(tǒng)中，噪聲是一個錯誤或不希望出現(xiàn)的隨機(jī)干擾從而作用于有效的信號。

2? 噪聲對于系統(tǒng)的影響

噪聲出現(xiàn)的第一個場景，當(dāng)我們在教室里做英語聽力，然后旁邊的同學(xué)手機(jī)忽然來了一條短信，這時候往往可以聽到放英語聽力的喇叭會被干擾，然后會發(fā)出嗶嗶嗶的聲音；

下面是一個正弦信號跌加噪聲的例子，在原始信號上疊加一定幅度的高斯噪聲，可以看到信號不再像原來的正弦信號那樣完美，具體如下圖所示；

或者，很久很久以前，數(shù)字電視還沒有普及，那時候的顯像管的黑白電視，也容易出現(xiàn)這樣的雪花一樣的噪聲，疊加在圖片上就會出現(xiàn)這樣的效果，具體如下圖所示；

從上述的例子中可以看到，噪聲往往會對系統(tǒng)造成一定程度的影響，但是如果噪聲的幅度減小到一定程度，對于系統(tǒng)的影響可能就沒有那么容易被發(fā)現(xiàn)。

下面做一個實(shí)驗(yàn)；在一張黑色圖片上疊加幅度很小幅度的高斯噪聲；從第二張圖片中發(fā)現(xiàn)噪聲沒有影響到整體圖片；??

然后我嘗試提高了整幅圖片的亮度，發(fā)現(xiàn)，噪點(diǎn)便開始出來了，這像極平時那些槍版影片的馬賽克畫質(zhì)；整體的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下圖所示；

3 對于PID控制器的影響

既然噪聲的幅度減小到一定程度，對于系統(tǒng)的影響可能就沒有那么容易被發(fā)現(xiàn)，那么對理想的PID控制器又有什么影響呢？

不要忘了，在理想PID控制器中，微分控制器會對偏差的變化率（斜率）進(jìn)行累加，從而產(chǎn)生積分器的輸出；

對于微分器來說，即使噪聲幅度足夠小，但是只要達(dá)到足夠高頻率，偏差的變化率一樣可以變得很大，下面舉個例子；

這里有一個固定頻率 和賦值 的噪聲為信號1，這個信號可以表示為：

于是我們嘗試將信號1的幅度減半，頻率變?yōu)樵瓉淼膬杀叮玫搅?strong>信號2：

以此類推，在信號2的基礎(chǔ)上，幅度再減半，頻率乘以2，得到信號3：

簡單畫了一下這個信號，具體如下圖所示；

假設(shè)分別取三個信號位于 該點(diǎn)的斜率，從圖中可以看到，斜率1，斜率2，斜率3是相同的，簡單驗(yàn)證一下，在 時刻，可以得到：

所以這里就是求復(fù)合函數(shù)的微分，由于選取的點(diǎn)比較特殊，發(fā)現(xiàn)最終計(jì)算得到的結(jié)果 ，因此也可以發(fā)現(xiàn)，即使減小了噪聲的幅度，但是對于較高頻率的噪聲，依然會產(chǎn)生較大斜率。

遇到高頻噪聲，那么微分器會產(chǎn)生較大的輸出，從而最終對系統(tǒng)造成影響，這是我們不希望出現(xiàn)的結(jié)果，因此在反饋回路中并不希望高頻噪聲進(jìn)入PID控制器的計(jì)算，這里就需要低通濾波器將噪聲濾除。

4 加入濾波器

低通濾波器可以濾除高頻信號，這樣保留了有效信號，可以設(shè)置所需的截止頻率；系統(tǒng)處理有效信號，由于低頻部分信噪比較高，因此噪聲對于系統(tǒng)的影響較小，而高頻部分，信噪比就很低，這時候?qū)τ谙到y(tǒng)來說，噪聲就會造成不小的影響，具體如下圖所示；

信噪比：有效信號和噪聲的比值，英文名稱叫做SNR或S/N（SIGNAL-NOISE RATIO)；

所以下面我們會在PID控制器的微分部分加入低通濾波器，這樣對反饋的信號進(jìn)行一部分處理，從而減小系統(tǒng)干擾，如下圖所示；

4.1 傳遞函數(shù)

概念：拉普拉斯變換是對于 函數(shù)值不為零的連續(xù)時間函數(shù) 通過關(guān)系式 (式中 為自然對數(shù)底 的指數(shù))變換為復(fù)變量 的函數(shù) 。它也是時間函數(shù) 的“復(fù)頻域”表示方式。

也就是說拉式變換可以將時域關(guān)系變換到頻域中，這樣可以便于系統(tǒng)進(jìn)行分析。

下面是本文下面會用到的時域函數(shù)對應(yīng)的拉普拉斯變換：

• 積分：
• 微分：
• 低通濾波器的傳遞函數(shù)：

低通濾波器中的截止頻率即為 ，單位是 ；

4.2 串聯(lián)微分的等效形式反饋積分

串聯(lián)等效傳遞函數(shù)的關(guān)系為，兩個方框串聯(lián)等于各個方框傳遞函數(shù)的乘積；具體如下所示；

因此低通濾波串聯(lián)微分的傳遞函數(shù)為：

閉環(huán)負(fù)反饋的等效傳遞函數(shù)的關(guān)系如下所示；

這里我們可以使用負(fù)反饋積分的方式，構(gòu)建等效于串聯(lián)微分的傳遞函數(shù)，最終的傳遞函數(shù)結(jié)果是相同的，具體如下圖所示；

串聯(lián)微分的形式，可能在算法的實(shí)現(xiàn)上會更加直觀，但是會比較費(fèi)資源；

使用負(fù)反饋積分的等效形式進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，則進(jìn)一步減少了算法的資源消耗，下面給出一個TI公司的PID算法實(shí)現(xiàn)就是通過負(fù)反饋積分的等效形式進(jìn)行實(shí)現(xiàn)的。

5 C語言實(shí)現(xiàn)

這里直接使用了TI公司的PID算法，對于微分部分做了濾波的處理，并且使用的是負(fù)反饋積分的方式， 具體可以參考controlSUITE\libs\app_libs\motor_control\math_blocks\v4.2\pid_grando.hPID控制器的整體框圖如下所示，我們只關(guān)心微分部分；

首先可以發(fā)現(xiàn) 滿足：

這里濾波器有兩個系數(shù) 和 ，它們必須滿足截止頻率 （單位Hz）和采樣周期 （單位秒）以下的關(guān)系：

C語言實(shí)現(xiàn)如下：

/*?=================================================================================
File?name:???????PID_GRANDO.H?
===================================================================================*/


#ifndef?__PID_H__
#define?__PID_H__

typedef?struct?{??_iq??Ref;??????//?Input:?reference?set-point
??????_iq??Fbk;??????//?Input:?feedback
??????_iq??Out;??????//?Output:?controller?output?
??????_iq??c1;??????//?Internal:?derivative?filter?coefficient?1
??????_iq??c2;??????//?Internal:?derivative?filter?coefficient?2
????}?PID_TERMINALS;
????//?note:?c1?&?c2?placed?here?to?keep?structure?size?under?8?words

typedef?struct?{??_iq??Kr;????//?Parameter:?reference?set-point?weighting?
??????_iq??Kp;????//?Parameter:?proportional?loop?gain
??????_iq??Ki;???????//?Parameter:?integral?gain
??????_iq??Kd;???????????//?Parameter:?derivative?gain
??????_iq??Km;???????????//?Parameter:?derivative?weighting
??????_iq??Umax;???//?Parameter:?upper?saturation?limit
??????_iq??Umin;???//?Parameter:?lower?saturation?limit
????}?PID_PARAMETERS;

typedef?struct?{??_iq??up;????//?Data:?proportional?term
??????_iq??ui;????//?Data:?integral?term
??????_iq??ud;????//?Data:?derivative?term
??????_iq??v1;????//?Data:?pre-saturated?controller?output
??????_iq??i1;????//?Data:?integrator?storage:?ui(k-1)
??????_iq??d1;????//?Data:?differentiator?storage:?ud(k-1)
??????_iq??d2;????//?Data:?differentiator?storage:?d2(k-1)?
??????_iq??w1;????//?Data:?saturation?record:?[u(k-1)?-?v(k-1)]
????}?PID_DATA;


typedef?struct?{??PID_TERMINALS?term;
??????PID_PARAMETERS?param;
??????PID_DATA??data;
????}?PID_CONTROLLER;

/*-----------------------------------------------------------------------------
Default?initalisation?values?for?the?PID?objects
-----------------------------------------------------------------------------*/?????????????????????

#define?PID_TERM_DEFAULTS?{????\
???????? ?0,????\
???????????????????????????0,????\
???????????????????????????0,????\
???????????????????????????0,????\
???????? ?0????\
???????????????????}

#define?PID_PARAM_DEFAULTS?{???\
???????????????????????????_IQ(1.0),?\
???????????????????????????_IQ(1.0),??\
???????????????????????????_IQ(0.0),?\
???????????????????????????_IQ(0.0),?\
???????????????????????????_IQ(1.0),?\
???????????????????????????_IQ(1.0),?\
???????????????????????????_IQ(-1.0)??\
???????????????????}

#define?PID_DATA_DEFAULTS?{???????\
???????????????????????????_IQ(0.0),?\
???????????????????????????_IQ(0.0),??\
???????????????????????????_IQ(0.0),?\
???????????????????????????_IQ(0.0),?\
???????????????????????????_IQ(0.0),??\
???????????????????????????_IQ(0.0),?\
???????????????????????????_IQ(0.0),?\
???????????????????????????_IQ(1.0)??\
???????????????????}


/*------------------------------------------------------------------------------
??PID?Macro?Definition
------------------------------------------------------------------------------*/

#define?PID_MACRO(v)??????????\
???????????????\
/*?proportional?term?*/??????????\
v.data.up?=?_IQmpy(v.param.Kr,?v.term.Ref)?-?v.term.Fbk;?\
???????????????\
/*?integral?term?*/???????????\
v.data.ui?=?_IQmpy(v.param.Ki,?_IQmpy(v.data.w1,????\
(v.term.Ref?-?v.term.Fbk)))?+?v.data.i1;?????\
v.data.i1?=?v.data.ui;??????????\
???????????????\
/*?derivative?term?*/???????????\
v.data.d2?=?_IQmpy(v.param.Kd,?_IQmpy(v.term.c1,????\
(_IQmpy(v.term.Ref,?v.param.Km)?-?v.term.Fbk)))?-?v.data.d2;\
v.data.ud?=?v.data.d2?+?v.data.d1;???????\
v.data.d1?=?_IQmpy(v.data.ud,?v.term.c2);?????\
???????????????\
/*?control?output?*/???????????\
v.data.v1?=?_IQmpy(v.param.Kp,?????????\
(v.data.up?+?v.data.ui?+?v.data.ud));??????\
v.term.Out=?_IQsat(v.data.v1,?v.param.Umax,?v.param.Umin);?\
v.data.w1?=?(v.term.Out?==?v.data.v1)???_IQ(1.0)?:?_IQ(0.0);\
?
#endif?//?__PID_H__

6 參考

https://en.wikipedia.org/wiki/Low-pass_filter?

自動控制原理 第五版 胡壽松 P47

雖然寫的不一定是最好，但是每一個字、每一個公式都是用心碼的，每一張圖都是用心畫的，每一句話都是加入了自己的理解，如果幫到了你，請無情三連吧；另外筆者能力有限，文中難免存在錯誤和紕漏，望輕拍指正。