芯片工業(yè)與數(shù)學(xué)
半導(dǎo)體簡介
半導(dǎo)體工業(yè)是目前我國薄弱并且最重要的工業(yè)之一, 半導(dǎo)體也是現(xiàn)代人生活中不可或缺的工業(yè)產(chǎn)品, 電話、音響、計(jì)算機(jī)、汽車, 甚至玩具和電飯鍋里面都會有半導(dǎo)。關(guān)于什么是半導(dǎo)體，對于EETOP的網(wǎng)友應(yīng)該全都很明白，不過為了文章的連貫性，我們在這里還是多啰嗦一次。
首先我們先來看1945年物理學(xué)諾貝爾獎得主包利(W. Pauli) 在1932年寫給他同事的一段文字:
On semiconductorsone should not do any work, that is a mess, who knows whether there aresemiconductors.
這段文字充分地顯示出當(dāng)時對「半導(dǎo)體」這個物理現(xiàn)象是非常模糊的, 其實(shí)半導(dǎo)體還沒被人們發(fā)現(xiàn)之前它只是一些不值錢的石塊, 可是當(dāng)人們學(xué)會怎么利用它時, 它卻變得如此的重要; 我們可以這樣說: 「半導(dǎo)體是一堆不值錢的石頭」, 我們也可以這樣說: 「半導(dǎo)體是非常有價(jià)值的東西」; 之所以會有這樣矛盾的結(jié)果出現(xiàn), 是因?yàn)榘雽?dǎo)體的材料是一種具雙重性質(zhì)的物質(zhì), 它可以是一種導(dǎo)體也可以是一種絕緣體, 而到底是導(dǎo)體還是絕緣體? 取決于半導(dǎo)體工業(yè)界中最重要的兩件事(A 與B 事件):
A、What is done to it?
B、How to control the current?
這兩個動作可以說是點(diǎn)石成金, 如果加了該加的東西, 再加上知道怎么控制電流(Current),那它就會變成半導(dǎo)體; 相反的,它就是一塊沒有用的石頭, 以下是科學(xué)百科全書對半導(dǎo)體的詮釋:
Asemicondutor is a material that can behave either as a conductor or aninsulator depending on what is done to it.
We cancontrol the amount of current that can pass through a semiconductor.
現(xiàn)在我們來看一下半導(dǎo)體的歷史發(fā)展,法拉第(Michael Faraday, 1791-1867) 是第一個注意到有半導(dǎo)體這種材料的人, 法拉第的發(fā)現(xiàn)很多, 最有名的是磁可以轉(zhuǎn)化為電的電磁感應(yīng)現(xiàn)象。這里我們要講的則是法拉第較少為人所知的一項(xiàng)發(fā)現(xiàn), 那就是他在公元1833年發(fā)現(xiàn)硫化銀(Silver Sulfide) 的電阻與普通的金屬不同, 它的電阻隨著溫度的上升而降低, 而普通金屬的電阻都是隨著溫度的上升而增加的。半導(dǎo)體從1833年被Faraday 發(fā)現(xiàn)后, 其中經(jīng)歷相當(dāng)多的屈折故事, 事實(shí)上在發(fā)現(xiàn)后近一百年內(nèi), 科學(xué)家對半導(dǎo)體現(xiàn)象仍存在有截然不同的正反見解,也就是說半導(dǎo)體從發(fā)現(xiàn)到完全被證實(shí)足足有一百多年之久, 可見半導(dǎo)體的奧妙與艱深難懂, 但是近年來半導(dǎo)體的發(fā)展卻是相當(dāng)?shù)目焖? 從1969年第一顆包含一個晶體管(Transistor) 的芯片(Chip) 被發(fā)明至今, 短短的五十年之間, 技術(shù)已經(jīng)可以做到把超過兩千萬個晶體管放到同一片芯片上了。以下為半導(dǎo)體在發(fā)展上所發(fā)生的一些大事:
1833 –Faraday discovered semiconductivity in Ag2S
1841 –Hittorf showed Faraday wrong
1902 –Straints showed Faraday right
1911 –Koenigsberger and Weiss termed “semiconductor”
1920 –Juband showed Faraday wrong
1933 –Wagner showed Faraday right
1935 –Gudden “Si is not a semiconductor”
1947 –Bardeen, Brattain, Shockley discovered transistor
1962 –First semiconductor laser
1969 –Single transistor on one chip
1999 ~Over 1010 transistors on one chip
半導(dǎo)體組件與半導(dǎo)體工業(yè)的發(fā)展
現(xiàn)在我們來看一些半導(dǎo)體組件以及近年來半導(dǎo)體工業(yè)是如何的發(fā)展, 首先我們先來看一下半導(dǎo)體組件是如何產(chǎn)生的, 一般來講,半導(dǎo)體組件的產(chǎn)生需要通過晶圓、黃光、切割等· · ·幾個步驟, 如圖一所示。
半導(dǎo)體的主要材料是從石頭或砂子中萃取出硅, 經(jīng)高溫溶化成99.9%的純硅鑄塊(Ingot), Ingot 長得像一個純銀色的不銹鋼圓柱, 經(jīng)鉆石鋸切割后成一塊塊直徑為4、6或8吋大的晶圓(Wafer), 經(jīng)過消毒、磨光后的晶圓像一面光滑的鏡子, 每一塊晶圓最后將含上百個相同的芯片(Chip), 這些芯片就是我們?nèi)ビ?jì)算機(jī)零售商購買的微處理器(Micro Processor) 或易失存儲器(DRAM)。
芯片的制造過程大致如下: 首先晶圓需經(jīng)過化學(xué)沉淀、擴(kuò)散以及離子植入方式使其帶正電,此謂摻入雜質(zhì)(Doping), 然后此帶正電晶圓再置入一個1200℃的烘爐內(nèi)烘烤氧化而在表面形成一層不導(dǎo)電的氧化層(Dioxide), 然后再鋪上一層膠固狀的不透光體(Photoresist), 接著一片鋪陳著復(fù)雜集成電路設(shè)計(jì)圖的模版置于此晶圓上, 經(jīng)過紫外線照射使Photoresist依設(shè)計(jì)圖路徑被軟化,此謂光罩(Mask); 之后再置于黃光室將軟化的Photoresist 清除, 接下來再把Dioxide部份用熱氣蝕刻(Etching) 掉而形成電路信道, 這些信道再Dope 成帶負(fù)電的硅化物,最后信道與信道之間再鋪上一條條鋁(或銅) 線使其相連成一個完整的集成電路IC (Integrated Circuit), 此步驟叫Interconnect,圖二是IC 最基本的示意結(jié)構(gòu)之一。
上述的這些步驟通常會重復(fù)好多次, 因此晶圓上一層一層的IC 圖被鋪設(shè)起像一層層大樓被建造起來, 再經(jīng)過切割、封裝、測試后成為一片片像姆指甲大小般的Chip。
這個產(chǎn)業(yè)從設(shè)計(jì)、制造、光罩、封裝到測試等過程, 皆有專業(yè)公司負(fù)責(zé)而形成一個緊密且高效率的垂直整合工業(yè)團(tuán)隊(duì)也是一個重要的因素。
圖一. 半導(dǎo)體簡要制造過程
圖二. Metal-Oxide-Silicon Field Effect Transistor
現(xiàn)在我們來看看一個最基本的IC 結(jié)構(gòu):
MOSFETInvertor (反向器), 如圖二, 圖中Vi 是輸入電壓, V0 是輸出電壓, 如果MOSFET(在純硅上加了不同的雜質(zhì)后的半導(dǎo)體,A 事件) 的導(dǎo)電特性適當(dāng), 我們則可控制(B事件) i1 與i2 的電流大小進(jìn)入而控制電容C 使其充電或不充電(0或1計(jì)算機(jī)的基本運(yùn)算于焉開始)。
上面的集成電路里, 每一個MOSFET組件, 就長得如圖三:
圖三. MOSFET 基本組件
當(dāng)不同電壓加在S(Source), G(Gate),D(Drain) 時, 我們希望電子(負(fù)電荷) 能有效地從C′跑到D′ 而使S 與D 間通電, 當(dāng)CD 的距離愈小時, 組件的尺寸就愈小, 現(xiàn)在已經(jīng)可以量產(chǎn)10納米的組件了, 這里10納米就是代表CD 的距離也就是導(dǎo)電線的線寬。
半導(dǎo)體數(shù)學(xué)簡介
半導(dǎo)體數(shù)學(xué)其實(shí)是指半導(dǎo)體物理與工程中相關(guān)的數(shù)學(xué)問題, 而半導(dǎo)體物理是探討半導(dǎo)體特性的學(xué)科, 需要用到以下幾種物理課程:
1、基礎(chǔ)物理
2、近代物理
3、量子力學(xué)
4、固態(tài)物理
5、統(tǒng)計(jì)力學(xué)
主要的觀念是守恒率、運(yùn)動方程式、電場、電荷; 而在半導(dǎo)體數(shù)學(xué)方面主要是專門處理半導(dǎo)體的模式與分析, 用到了以下幾種數(shù)學(xué):
1、微積分
2、高等微積分
3、實(shí)變函數(shù)
4、泛涵分析
5、微分方程
6、數(shù)值分析
7、統(tǒng)計(jì)
8、概率
研究主題含模式推導(dǎo)、數(shù)學(xué)性質(zhì)、模式的求解、以及用計(jì)算機(jī)來仿真組件物理特性; 而這些簡稱為半導(dǎo)體數(shù)學(xué)為什么要存在于半導(dǎo)體工業(yè)中呢? 我們可以從它的制作過程:「沙子」→ 晶圓→ · · · → 封裝→ 切割→ 販賣, 這整個點(diǎn)石成金術(shù)可不是三天兩夜就變的出來的,從最原始的硅元素,到IC 芯片,起碼需要花三個月的時間才能成就一顆有價(jià)值的IC,在這段漫長的時間里, 有數(shù)以百計(jì)的程序需要被處理, 只要其中有一步驟稍微出了差錯,就全功盡棄,因此, 如果我們能先透過半導(dǎo)體數(shù)學(xué)的模擬計(jì)算, 來預(yù)測某個條件下, 組件所具有的物理特性, 我們便能快速的找出最適合某類組件的組成系數(shù), 就能節(jié)省開發(fā)新組件所需的成本, 這樣的好處在越往小組件發(fā)展, 所節(jié)省的成本就越明顯, 可以看出半導(dǎo)體數(shù)學(xué)在制作過程中所占居的位置。
從1969 年第一顆包含一個晶體管(Transistor) 的芯片(Chip) 被發(fā)明至今, 短短的五十年間, 技術(shù)已經(jīng)可以做到把超過兩千萬個晶體管放到同一片芯片上了。隨著半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)的突飛猛進(jìn), 組件的尺寸越來越小, 晶體管的數(shù)目越來越多, 相對的研發(fā)的成本也越來越高, 在此情況下, 想要對每一種設(shè)計(jì)理念, 包括不同的組件尺寸(Device Geometry)、組件材質(zhì)(Device Material)、不同的偏壓(Bias)、以及制程技術(shù)中的微影(Lithography)、參雜(Diffusion、Implantation)· · · 等, 都加以實(shí)際實(shí)驗(yàn)是非常不實(shí)際的, 其付出的成本可以說是天文數(shù)字, 因此就有人把數(shù)學(xué)引進(jìn)半導(dǎo)體業(yè)界, 主要分成組件仿真(Device Simulation) 和制程模擬(Process Simulation),以下主要討論組件仿真的部分, 希望能以數(shù)學(xué)的方程式來描述半導(dǎo)體的特性。但是此時就會遇到兩個無法避免的難題:
1. 如何找到可以描述半導(dǎo)體特性的數(shù)學(xué)方程式?
2. 如何找出這些方程式的真正解?
對于第一個問題, 經(jīng)由數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的不斷努力下, 現(xiàn)在已找到了許多可以描述半導(dǎo)體特性的方程式, 下面列出一些可以描述半導(dǎo)體特性的方程式及其所適用的組件大小(約略尺寸):
1、Drift Diffusion Model (大于0.7μm)
2、Energy Transport Model (大于0.3μm)
3、Hydrodynamic Model (大于0.07μm)
4、Boltzmann’s Transport Equation (大于0.03μm)
5、Quantum TransportModel (可用于小于0.01μm)
圖四. 適用于不同組件尺寸的數(shù)學(xué)模式
一般來講較上方的方程式是由下方的方程式做了一些關(guān)鍵性的假設(shè)或忽略所得到的,但隨著組件的大小漸漸的變小, 這些可以簡化方程式的假設(shè)也變得不成立了, 所以越下方的方程式其復(fù)雜度會遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過上方的, 對此我們可以依據(jù)組件的大小來選擇所需的方程式, 以免大才小用。
至于第二個問題, 很不幸的答案是沒有方法, 對于工程界有興趣的問題, 現(xiàn)今的數(shù)學(xué)并沒有方法求得這些方程式的真正解, 那怕是最簡單的Drift Diffusion Model 都沒有辦法, 更不要說是Boltzmann’s Transport Equation 或Quantum Transport Model了。相信大家一定會覺得很奇怪, 既然沒有辦法解這些方程式, 那如何把數(shù)學(xué)帶進(jìn)半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)呢? 雖然數(shù)學(xué)沒有辦法解出真正的解,但借由數(shù)值方法和高運(yùn)算能力的計(jì)算機(jī), 我們可以得到近似的解,只要近似解夠接近真正解, 我們就可以用此近似解來當(dāng)作實(shí)驗(yàn)所得的數(shù)據(jù), 如此就可以把一些不良的設(shè)計(jì)在此階段就先加以剔除。但是隨著方程式的逐漸復(fù)雜化, 如今連想要求得近似解的難度也越來越高了, 對此我們只有期望能有新的方法來計(jì)算這些方程式, 及更快速的計(jì)算機(jī)能早日被發(fā)明出來以滿足呈爆炸性成長的計(jì)算量。
半導(dǎo)體數(shù)學(xué)模型的意義
在上面, 依組件尺寸的大小, 我們看到了相當(dāng)多的數(shù)學(xué)模式可以用來描述半導(dǎo)體特性, 在這里我們選擇最基本的Drift Diffusion (漂移擴(kuò)散)Model 來簡略地看看這些數(shù)學(xué)方程式的物理意義:
DriftDiffusion Model:
(1)Δφ=q/εs*(n ? p + D)
(2)?n/?t=?*(Dn?n)??*(μnn?φ)+R
(3)?p/?t=?* (Dp?p)?? * (μpn?φ)+R
對這三個方程式, 我們想要尋求三個未知函數(shù)(φ, n, p) 的解, 這里n 代表在圖三正方形區(qū)域ABEF 內(nèi)的電子濃度(單位面積內(nèi)電子的個數(shù)), 如果ABEF 依摩爾定律一路往下縮小, 我們可以想象將來的組件只有一個電子, 的確, 這即是目前科學(xué)界非常重要的研究課題之一「單電子晶體管」, 高中化學(xué)我們學(xué)過原子最外層能階的電子可能受外在環(huán)境影響而逃脫原子的束縛而在物質(zhì)晶格上游走(即漂移), 因此n 是代表這批“游離”電子的濃度, 如果原子沒辦法留住它的電子而任其游走天涯(形成電流), 原子將帶正電荷我們稱之為電洞, 而p 即代表電洞的濃度。電學(xué)最基本的定律庫倫定律告訴我們帶電的東西A(如電子本身) 會形成一個電場E, 而E 對另外一個帶電的東西B 形成有位能φ存在的現(xiàn)象, 電位能與電場的關(guān)系是E = ? (位能變化) / (位置變化) 以二維空間而言
E = ??φ= ?(?/?x,?/?y)φ= ?(?φ/?x, ?φ/?y)
這里?φ/?x即代表φ在x 方向變化的情形。
ABEF 內(nèi)的電子濃度由于受到外加電場(φ的邊界條件) 以及我們在純硅上加了不同的物質(zhì)(A 事件, Doping) 而有所變化,這即是D 在(1) 式右邊的意義, q 是基本電荷常數(shù), "s 是介電系數(shù), 也是常數(shù)而(1) 式即代表電場因電子在不同位置有不同數(shù)量而產(chǎn)生的變化, 即??E 等于q/εs*(n ? p + D)對φ而言, (1) 式是φ的二階偏微分方程式,即
Δφ= ???φ=(?/?x,?/?y)? (?φ/?x, ?φ/?y)=?2φ/?x2+?2φ/?y2
現(xiàn)在我們來看看第二個式子, 此式稱之為電子連續(xù)方程式, 是依據(jù)質(zhì)量不減定律算來的, 為了簡化起見, 我們把問題放在一維空間來考慮, 想象x 軸是一條密度不均勻的河流(電子流;高速公路上的車流), 其流速在x 點(diǎn)t 時間時為v 向東流去, 令Q 代表單位時間內(nèi)通過x 的電子數(shù), 考慮電子流在某一線段I = (x, x + Δx) 的情形:∫x x+Δx[n(s, t +Δt) ? n(s, t)]ds: 表示在時段Δt 內(nèi)電子在I 的增加總數(shù)量, [Q(x, t)?Q(x + Δx, t)] Δt: 表示在_t時間內(nèi)電子流入與流出I 的總數(shù)量, ∫x x+Δx (R(s, t )Δt) ds:表示電子在I 與Δt 內(nèi)因碰撞或與電洞相結(jié)合而得的總增加量, 因此R 代表一個生成或消滅的函數(shù), 質(zhì)量不減定律告訴我們:
∫x x+Δx[n(s, t+Δt) ? n(s, t)]ds = [Q(x, t)?Q(x+Δx, t)]Δt
+∫x x+Δx (R(s, t )Δt) ds
兩邊除以ΔtΔx 后再令Δt → 0, Δx → 0我們得?n/?t = ??Q/?x + R 現(xiàn)在我們想想看Q這個函數(shù)與n 和φ的關(guān)系是什么, 考慮Q = Dn?n/?x +μnuE (其中E = ??/?x ), 這里Dn代表電子在硅晶格上的擴(kuò)散系數(shù)(正數(shù)),Q 與?n/?x成正比, 意思是如果?n/?x= 0 即在x 點(diǎn)附近電子數(shù)相同, 即無擴(kuò)散現(xiàn)象否則電子會往較稀疏的地方疏散, 另一項(xiàng)μnnE 其中μn 表示電子在組件內(nèi)移動的能力(Mobility), 可以想象得到的是如果μn, n, 或E愈大, 則電子數(shù)量在時間t 通過x 點(diǎn)會愈大,因此μnnE 代表了Drift Diffusion Model中Drift 的意義, 而Dn =?n/?x表示Diffusion。以上的解釋對電洞也成立, 因此有第(3) 式。
我們在這里省略了很多的物理參數(shù), 條件, 變量等, 沒有交待, 但是對于方程式(1)～(3) 的主要數(shù)學(xué)符號與相對應(yīng)的物理意義希望已經(jīng)提供了輪廓性的描述, 簡單的說(1)～(3) 是一群電子在圖三中從Source 跑到Drain 的數(shù)學(xué)表示式且僅適用于某些組件尺寸大小。
目前由半導(dǎo)體數(shù)學(xué)建構(gòu)而成的模擬工具
基于上節(jié)各種不同的數(shù)學(xué)模式(Models), 全球有許多大學(xué)、相關(guān)研究機(jī)構(gòu), 甚至如英特爾、IBM 等公司皆有研究群全力地發(fā)展完整的半導(dǎo)體數(shù)值仿真器, 而功能較完整,且技術(shù)較先進(jìn)的學(xué)術(shù)研究群有:
1、史丹福大學(xué)– TCAD 研究群。
2、麻省理工學(xué)院微系統(tǒng)科技實(shí)驗(yàn)室。
3、維也納大學(xué)– TCAD 研究群。
4、普渡大學(xué)– 計(jì)算電子研究群。
5、美國計(jì)算電子研究中心。
其中, 史丹福大學(xué)的TCAD 研發(fā)團(tuán)隊(duì),結(jié)合了電子工程、物理、數(shù)學(xué)、計(jì)算器等不同領(lǐng)域的人才、系所環(huán)境, 目前其技術(shù)領(lǐng)先世界水平約10年, 其相關(guān)的研究從制程仿真、組件仿真、電路仿真到系統(tǒng)都做, 也寫計(jì)算數(shù)學(xué)核心。它所研發(fā)的SUPREM 和PISES兩套仿真器, 由于功能強(qiáng)大, 廣為商業(yè)界所愛用。
由威尼斯大學(xué)TCAD 團(tuán)隊(duì)所發(fā)展的MINIMOS Simulation Tool, 是早期幾個少數(shù)仿真器中,功能最為完備, 最為成熟的仿真器, 舉凡制程仿真, 組件仿真, 電路仿真都有做, 廣為學(xué)術(shù)界所愛用。
而普渡大學(xué)的Computational Electronics Hub 是以TCAD 整合為主, 它搜集了所有可以見的到的TCAD 相關(guān)資料, 并以因特網(wǎng)瀏覽接口開放給學(xué)術(shù)界免費(fèi)使用。
目前半導(dǎo)體工業(yè)界里, 有許多公司投入TCAD 的研發(fā), 較著名的有: Silvaco、Integrated SystemsEngineering(ISE)、和Avant!, Silvaco 與Avant! 兩公司的主要技術(shù)核心源自于史丹福大學(xué)TCAD 研究群所開發(fā)出來的學(xué)術(shù)性軟件, 而ISE 的技術(shù)則源自于瑞士聯(lián)邦科技大學(xué)以及維也納大學(xué)。目前所知的所有組件仿真軟件對于小于0.1微米的組件都無法獲得滿意的數(shù)值計(jì)算結(jié)果, 我們也正朝這些困難邁進(jìn), 希望能在此競爭非常激烈、時效性非常緊迫的研究領(lǐng)域有所突破與貢獻(xiàn)。
結(jié)語
雖然半導(dǎo)體工業(yè)是目前我國最重要的工業(yè)之一, 但是十之八九的半導(dǎo)體制造商甚至學(xué)術(shù)研究實(shí)驗(yàn)室仍然以實(shí)驗(yàn)方式來取得所謂的what is done to it and how to control current,這樣做有三個很大的缺點(diǎn):
1. 成本過高、費(fèi)時費(fèi)工。
2. 無法取得最佳設(shè)計(jì)籃圖與制造參數(shù)值
3. 容易造成污染。
這是整個半導(dǎo)體工業(yè)里很大的問題, 只要在半導(dǎo)體工業(yè)里帶入所謂的半導(dǎo)體數(shù)學(xué)與軟件, 將有助于解決上述問題; 而且當(dāng)半導(dǎo)體組件的尺寸越小, 半導(dǎo)體工業(yè)就愈需要這些相關(guān)的基礎(chǔ)研究了。
在半導(dǎo)體組件日漸縮小的情況下, 以前所被簡略的物理特性也都一一呈現(xiàn)出其重要性來, 因此我們需要更為精確更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)模式來替代物理實(shí)驗(yàn), 其所代表的意義是在更小的區(qū)域中未知函數(shù)的變化更為復(fù)雜,想要求得精確的近似解則需要更多的計(jì)算量,進(jìn)而使得仿真組件特性須要耗費(fèi)更多的時間,另外, 數(shù)值模擬結(jié)果必需與實(shí)驗(yàn)相互驗(yàn)證、比較, 因此數(shù)學(xué)、物理與工程等領(lǐng)域的整合也是非常重要的環(huán)結(jié), 所以半導(dǎo)體模擬是需要非常高度的科學(xué)計(jì)算技術(shù)與扎實(shí)的基礎(chǔ)科學(xué)基礎(chǔ)。
-END-
來源：數(shù)哲三叁叔
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