機器學習必將會設計算法的優(yōu)化問題,主要是實現(xiàn)Platt SMO算法,那么,下面本文對SVM的優(yōu)化進行了介紹,主要實現(xiàn)了Platt SMO算法優(yōu)化SVM模型,并嘗試使用遺傳算法框架GAFT對初始SVM進行了優(yōu)化。
SMO中啟發(fā)式選擇變量
在SMO算法中,我們每次需要選取一對α來進行優(yōu)化,通過啟發(fā)式的選取我們可以更高效的選取待優(yōu)化的變量使得目標函數(shù)下降的最快。
針對第一個α1和第二個α2 Platt SMO采取不同的啟發(fā)式手段。
第一個變量的選擇
第一個變量的選擇為外循環(huán),與之前便利整個αα列表不同,在這里我們在整個樣本集和非邊界樣本集間進行交替:
首先我們對整個訓練集進行遍歷, 檢查是否違反KKT條件,如果改點的αiαi和xi,yixi,yi違反了KKT條件則說明改點需要進行優(yōu)化。
Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件是正定二次規(guī)劃問題最優(yōu)點的充分必要條件。針對SVM對偶問題,KKT條件非常簡單:
在遍歷了整個訓練集并優(yōu)化了相應的α后第二輪迭代我們僅僅需要遍歷其中的非邊界α。 所謂的非邊界α就是指那些不等于邊界0或者C的α值。 同樣這些點仍然需要檢查是否違反KKT條件并進行優(yōu)化。
之后就是不斷地在兩個數(shù)據(jù)集中來回交替,最終所有的α都滿足KKT條件的時候,算法中止。
為了能夠快速選取有最大步長的α,我們需要對所有數(shù)據(jù)對應的誤差進行緩存,因此特地寫了個SVMUTIl類來保存svm中重要的變量以及一些輔助方法:
下面為第一個變量選擇交替遍歷的大致代碼,相應完整的Python實現(xiàn)(完整實現(xiàn)見https://github.com/PytLab/MLBox/blob/master/svm/svm_platt_smo.py):
第二個變量的選擇
SMO中的第二個變量的選擇過程為內循環(huán),當我們已經(jīng)選取第一個α1之后,我們希望我們選取的第二個變量α2優(yōu)化后能有較大的變化。根據(jù)我們之前推導的式子
可以知道,新的α2的變化依賴于|E1−E2|, 當E1為正時, 那么選擇最小的Ei作為E2,通常將每個樣本的Ei緩存到一個列表中,通過在列表中選擇具有|E1−E2|的α2來近似最大化步長。
有時候按照上述的啟發(fā)式方式仍不能夠是的函數(shù)值有足夠的下降,這是按下述步驟進行選擇:
在非邊界數(shù)據(jù)集上選擇能夠使函數(shù)值足夠下降的樣本作為第二個變量
如果非邊界數(shù)據(jù)集上沒有,則在整個數(shù)據(jù)僅上進行第二個變量的選擇
如果仍然沒有則重新選擇第一個α1
第二個變量選取的Python實現(xiàn):
KKT條件允許一定的誤差
在Platt論文中的KKT條件的判斷中有一個tolerance允許一定的誤差,相應的Python實現(xiàn):
關于Platt SMO的完整實現(xiàn)詳見:https://github.com/PytLab/MLBox/blob/master/svm/svm_platt_smo.py
針對之前的數(shù)據(jù)集我們使用Platt SMO進行優(yōu)化可以得到:
將分割線和支持向量可視化:
可見通過Platt SMO優(yōu)化出來的支持向量與簡化版的SMO算法有些許不同。
使用遺傳算法優(yōu)化SVM
由于最近自己寫了個遺傳算法框架,遺傳算法作為一個啟發(fā)式無導型的搜索算法非常易用,于是我就嘗試使用遺傳算法來優(yōu)化SVM。
使用遺傳算法優(yōu)化,我們就可以直接優(yōu)化SVM的最初形式了也就是最直觀的形式:
順便再安利下自己的遺傳算法框架,在此框架的幫助下,優(yōu)化SVM算法我們只需要寫幾十行的Python代碼即可。其中最主要的就是編寫適應度函數(shù),根據(jù)上面的公式我們需要計算數(shù)據(jù)集中每個點到分割線的距離并返回最小的距離即可,然后放到遺傳算法中進行進化迭代。
遺傳算法框架GAFT項目地址: https://github.com/PytLab/gaft , 使用方法詳見README。
Ok, 我們開始構建種群用于進化迭代。
創(chuàng)建個體與種群
對于二維數(shù)據(jù)點,我們需要優(yōu)化的參數(shù)只有三個也就是[w1,w2]和b, 個體的定義如下:
種群大小這里取600,創(chuàng)建種群
創(chuàng)建遺傳算子和GA引擎
這里沒有什么特別的,直接使用框架中內置的算子就好了。
適應度函數(shù)
這一部分只要把上面svm初始形式描述出來就好了,只需要三行代碼:
開始迭代
這里迭代300代種群
繪制遺傳算法優(yōu)化的分割線
得到的分割曲線如下圖: