1.寫在前面

前幾天和同事聊了個問題，覺得還蠻有趣，決定和大家分享一下。

Oh My God! 搞它搞它！

2. 題目描述

我們的熱心讀者小明被選中參加一個抽獎游戲，游戲規(guī)則是這樣的：

• 小明面前有ABC三扇相同的門，小明和觀眾無法知道ABC三扇門背后有什么。

• ABC三扇門中只有一扇門背后有一輛汽車，其他兩扇門背后都是一瓶礦泉水。

• 小明需要在3扇門中選中一個并且不開啟，接下來主持人從另外兩扇門中選中一扇門并且開啟。

• 小明選中了A門，主持人選中了B門，并且開啟B門后是礦泉水。

• 這時主持人問小明，明哥你要不要從A門換選C門呢？

大家都替小明思考一下，別瞎蒙，要有理有據(jù)，能不能提到這輛法拉利就在此一搏了！

3. 蒙提·霍爾問題

相信很多老鐵知道這個問題，這就是有名的蒙提霍爾問題（Monty Hall Problem)，也稱三門問題。

這是一個源自博弈論的數(shù)學游戲問題，出自美國的電視游戲節(jié)目Let's Make a Deal。

這里面有個非常重要的線索：主持人知道哪扇門后有汽車且會選中背后有水的那扇門，這也是爭議的所在，相當于個隱含條件吧。

在維基百科對于Monty Hall問題的描述中，門的背后是山羊和汽車，本文替換成了礦泉水，但是數(shù)學原理是一樣的，大白是想盡量排除干擾，避免讀者鉆牛角尖。

面對這個問題，很多人認為換或者不換選中汽車的概率都是1/2，還有一部分人認為應該換了之后的概率更大是2/3。

4. 樸素分析

換或者不換，是個問題。

4.1 不換的1/2派

由于主持人已經(jīng)幫小明淘汰了一個選項，剩下的就只有兩個了。

很直觀地感覺一下，A門和C門背后有汽車的概率都是1/2，這個結論也是符合大部分人直觀第一感覺的答案，這也是大白的第一答案...害

但是還有句話，真理往往掌握在少數(shù)人手中，所以這個直觀答案并不一定正確呀！

4.2 調換的2/3派

調換派認為不換的話有車的概率就是最初的1/3，由于B和C總體的概率為2/3，且已經(jīng)被排除了B，那么修改選擇后，選C有車的概率就是2/3。

詳細分析一下這幾種可能：

• A扇門背后有車，如果調換到C，那么一定沒有車，這種場景的概率是1/3。
• A扇門背后無車，如果調換到C，那么一定有車，這種場景的概率是2/3。

確實非常有道理，用一個低概率成功去換取一個高概率成功，太機智了！

4.3 分歧所在

在主持人沒有開啟B門之前，我們對選擇A后有汽車的概率是1/3是毫無爭議的。

但是當主持人開啟B門之后，就出現(xiàn)了分歧，那么不由得去想B門的開啟是否影響了之前的選擇A呢？

5. 數(shù)學分析

沒有數(shù)學分析，大家貌似說的都有道理，所以必須亮出大神器-概率分析。

這幾個概率論的術語，大家都是學過的，所以不必有什么數(shù)學恐懼。

5.1 獨立事件的概率和條件概率

• 獨立事件概率

我們設定事件a的概率為P(a)，事件b的概率是P(b)，且事件a和事件b是相互獨立的。

則事件a和事件b同時發(fā)生的概率，滿足如下公式：

P(ab)=P(ba)=P(a)P(b)

• 條件概率

條件概率是在某種條件下，某個事件發(fā)生的概率，展示了事件之間的內(nèi)在聯(lián)系和影響。

我們來看兩種條件概率的簡單表述。

1. 事件a發(fā)生之后，事件b發(fā)生的概率，可以記做P(b|a)，此時滿足公式：

P(b|a)=P(ab)/P(a)
等價于 P(ab)=P(b|a)P(a)

2. 事件b發(fā)生之后，事件a發(fā)生的概率，可以記做P(a|b)，此時滿足公式：

P(a|b)=P(ab)/P(b)
等價于 P(ab)=P(a|b)P(b)

3. 綜合這兩種條件事件，可以得到公式：

P(ab)=P(b|a)P(a)=P(a|b)P(b)

5.2 貝葉斯公式

我們綜合計算得到一個公式：

P(b|a)P(a)=P(a|b)P(b)

這個公式做一個變形可以得到：

P(a|b)=P(b|a)P(a)/P(b)

沒錯，這就是大名鼎鼎的貝葉斯公式。

5.3 先驗概率和后驗概率

在貝葉斯公式中，還隱含著一些術語，來看下百度百科對于其中的定義：

P(A)是A的先驗概率或邊緣概率，它不考慮任何B方面的因素。

P(A|B)是B發(fā)生后A的條件概率，由于得自B的取值被稱作A的后驗概率。

P(B|A)是A發(fā)生后B的條件概率，由于得自A的取值被稱作B的后驗概率。

P(B)是B的先驗概率或邊緣概率，稱作標準化常量。

貝葉斯公式的意義非常重大，它揭示了條件事件概率的內(nèi)在聯(lián)系，某些樣本信息的出現(xiàn)對先驗概率的影響。

貝葉斯公式為我們利用搜集到的信息對原有判斷進行修正提供了有效手段。

在很多領域都有非常深遠的影響，正好用在我們今天的蒙提霍爾問題上，繼續(xù)來分析。

6. 貝葉斯公式和蒙提霍爾問題

前面我們提到了，癥結在于主持人選擇B門并開啟后無車，這個事件對于已作出選擇的參與者來說是否有影響呢？

后驗概率是否產(chǎn)生了影響，我們來推導一下：

• 設定A、B、C門后有汽車分別記為事件a、b、c，則P(a)=P(b)=P(c)=1/3。
• 設定參與者選擇了A門，由于主持人默認需要選擇沒有汽車的門，因此參與者的選擇影響了主持人的選擇。
• 設定主持人選擇了B門且沒有汽車，記為事件d，則P(d|a)=1/2,P(d|b)=0,P(d|c)=1。
• 在主持人選擇B門無汽車后，參與者選擇A門有車的概率為P(a|d)，即事件d發(fā)生后事件a的概率，由貝葉斯公式得：

P(a|d)=P(d|a)P(a)/P(d)

通過前面的分析，我們只需要求P(d|a)、P(a)、P(d)三個元素即可。

• P(d|a)表示A門有汽車的情況下，主持人選擇B門的概率，其為1/2；
• P(a)表示A門有汽車的概率，其為1/3；
• P(d)可以從全概率公式求得，其為1/2：

P(d)=P(d|a)P(a)+P(d|b)P(b)+P(d|c)P(c)
P(d)=1/2*1/3+0*1/3+1*1/3=1/2

綜上得到：P(a|d)=1/2*1/3*2=1/3

在主持人選擇B門開啟后無汽車的情況下，參與者選A門有汽車的概率P(a|d)=1/3，因此后驗概率并沒有發(fā)生變化，并不是直觀的1/2，而仍然是1/3。

因此如果做調換，那么相當于參與者選擇了C門，計算過程類似，概率為2/3：

P(c|d)=P(d|c)P(c)/P(d)

7.蒙提霍爾問題的思考

想這個問題的時候，總覺得有漏洞，或者說必須在某些條條框框才能正常推演。

比如說假如主持人并不知道哪扇門后有汽車，他也是隨機選擇的。

比如說數(shù)據(jù)規(guī)模不一樣，9扇門，主持人幫你否定7個，顯然要換，正是因為數(shù)據(jù)規(guī)模很小才帶來了和直覺相悖的感覺。

最后用Horst Hohberger的一段話概括，蒙提霍爾問題：

If you change, you win when your original choice was wrong;
if you don't change, you win when your original choice was right.

如果你想贏得汽車，兩種情況的概率：

• 不換情況下必須是最初選擇是對的才會贏取法拉利，概率1/3
• 調換情況下必須是最初選擇是錯的才會贏取法拉利，概率2/3