1.寫在前面

前幾天和同事聊了個(gè)問題，覺得還蠻有趣，決定和大家分享一下。

Oh My God! 搞它搞它！

2. 題目描述

我們的熱心讀者小明被選中參加一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲，游戲規(guī)則是這樣的：

• 小明面前有ABC三扇相同的門，小明和觀眾無法知道ABC三扇門背后有什么。

• ABC三扇門中只有一扇門背后有一輛汽車，其他兩扇門背后都是一瓶礦泉水。

• 小明需要在3扇門中選中一個(gè)并且不開啟，接下來主持人從另外兩扇門中選中一扇門并且開啟。

• 小明選中了A門，主持人選中了B門，并且開啟B門后是礦泉水。

• 這時(shí)主持人問小明，明哥你要不要從A門換選C門呢？

大家都替小明思考一下，別瞎蒙，要有理有據(jù)，能不能提到這輛法拉利就在此一搏了！

3. 蒙提·霍爾問題

相信很多老鐵知道這個(gè)問題，這就是有名的蒙提霍爾問題（Monty Hall Problem)，也稱三門問題。

這是一個(gè)源自博弈論的數(shù)學(xué)游戲問題，出自美國的電視游戲節(jié)目Let's Make a Deal。

這里面有個(gè)非常重要的線索：主持人知道哪扇門后有汽車且會(huì)選中背后有水的那扇門，這也是爭(zhēng)議的所在，相當(dāng)于個(gè)隱含條件吧。

在維基百科對(duì)于Monty Hall問題的描述中，門的背后是山羊和汽車，本文替換成了礦泉水，但是數(shù)學(xué)原理是一樣的，大白是想盡量排除干擾，避免讀者鉆牛角尖。

面對(duì)這個(gè)問題，很多人認(rèn)為換或者不換選中汽車的概率都是1/2，還有一部分人認(rèn)為應(yīng)該換了之后的概率更大是2/3。

4. 樸素分析

換或者不換，是個(gè)問題。

4.1 不換的1/2派

由于主持人已經(jīng)幫小明淘汰了一個(gè)選項(xiàng)，剩下的就只有兩個(gè)了。

很直觀地感覺一下，A門和C門背后有汽車的概率都是1/2，這個(gè)結(jié)論也是符合大部分人直觀第一感覺的答案，這也是大白的第一答案...害

但是還有句話，真理往往掌握在少數(shù)人手中，所以這個(gè)直觀答案并不一定正確呀！

4.2 調(diào)換的2/3派

調(diào)換派認(rèn)為不換的話有車的概率就是最初的1/3，由于B和C總體的概率為2/3，且已經(jīng)被排除了B，那么修改選擇后，選C有車的概率就是2/3。

詳細(xì)分析一下這幾種可能：

• A扇門背后有車，如果調(diào)換到C，那么一定沒有車，這種場(chǎng)景的概率是1/3。
• A扇門背后無車，如果調(diào)換到C，那么一定有車，這種場(chǎng)景的概率是2/3。

確實(shí)非常有道理，用一個(gè)低概率成功去換取一個(gè)高概率成功，太機(jī)智了！

4.3 分歧所在

在主持人沒有開啟B門之前，我們對(duì)選擇A后有汽車的概率是1/3是毫無爭(zhēng)議的。

但是當(dāng)主持人開啟B門之后，就出現(xiàn)了分歧，那么不由得去想B門的開啟是否影響了之前的選擇A呢？

5. 數(shù)學(xué)分析

沒有數(shù)學(xué)分析，大家貌似說的都有道理，所以必須亮出大神器-概率分析。

這幾個(gè)概率論的術(shù)語，大家都是學(xué)過的，所以不必有什么數(shù)學(xué)恐懼。

5.1 獨(dú)立事件的概率和條件概率

• 獨(dú)立事件概率

我們?cè)O(shè)定事件a的概率為P(a)，事件b的概率是P(b)，且事件a和事件b是相互獨(dú)立的。

則事件a和事件b同時(shí)發(fā)生的概率，滿足如下公式：

P(ab)=P(ba)=P(a)P(b)

• 條件概率

條件概率是在某種條件下，某個(gè)事件發(fā)生的概率，展示了事件之間的內(nèi)在聯(lián)系和影響。

我們來看兩種條件概率的簡(jiǎn)單表述。

1. 事件a發(fā)生之后，事件b發(fā)生的概率，可以記做P(b|a)，此時(shí)滿足公式：

P(b|a)=P(ab)/P(a)
等價(jià)于 P(ab)=P(b|a)P(a)

2. 事件b發(fā)生之后，事件a發(fā)生的概率，可以記做P(a|b)，此時(shí)滿足公式：

P(a|b)=P(ab)/P(b)
等價(jià)于 P(ab)=P(a|b)P(b)

3. 綜合這兩種條件事件，可以得到公式：

P(ab)=P(b|a)P(a)=P(a|b)P(b)

5.2 貝葉斯公式

我們綜合計(jì)算得到一個(gè)公式：

P(b|a)P(a)=P(a|b)P(b)

這個(gè)公式做一個(gè)變形可以得到：

P(a|b)=P(b|a)P(a)/P(b)

沒錯(cuò)，這就是大名鼎鼎的貝葉斯公式。

5.3 先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率

在貝葉斯公式中，還隱含著一些術(shù)語，來看下百度百科對(duì)于其中的定義：

P(A)是A的先驗(yàn)概率或邊緣概率，它不考慮任何B方面的因素。

P(A|B)是B發(fā)生后A的條件概率，由于得自B的取值被稱作A的后驗(yàn)概率。

P(B|A)是A發(fā)生后B的條件概率，由于得自A的取值被稱作B的后驗(yàn)概率。

P(B)是B的先驗(yàn)概率或邊緣概率，稱作標(biāo)準(zhǔn)化常量。

貝葉斯公式的意義非常重大，它揭示了條件事件概率的內(nèi)在聯(lián)系，某些樣本信息的出現(xiàn)對(duì)先驗(yàn)概率的影響。

貝葉斯公式為我們利用搜集到的信息對(duì)原有判斷進(jìn)行修正提供了有效手段。

在很多領(lǐng)域都有非常深遠(yuǎn)的影響，正好用在我們今天的蒙提霍爾問題上，繼續(xù)來分析。

6. 貝葉斯公式和蒙提霍爾問題

前面我們提到了，癥結(jié)在于主持人選擇B門并開啟后無車，這個(gè)事件對(duì)于已作出選擇的參與者來說是否有影響呢？

后驗(yàn)概率是否產(chǎn)生了影響，我們來推導(dǎo)一下：

• 設(shè)定A、B、C門后有汽車分別記為事件a、b、c，則P(a)=P(b)=P(c)=1/3。
• 設(shè)定參與者選擇了A門，由于主持人默認(rèn)需要選擇沒有汽車的門，因此參與者的選擇影響了主持人的選擇。
• 設(shè)定主持人選擇了B門且沒有汽車，記為事件d，則P(d|a)=1/2,P(d|b)=0,P(d|c)=1。
• 在主持人選擇B門無汽車后，參與者選擇A門有車的概率為P(a|d)，即事件d發(fā)生后事件a的概率，由貝葉斯公式得：

P(a|d)=P(d|a)P(a)/P(d)

通過前面的分析，我們只需要求P(d|a)、P(a)、P(d)三個(gè)元素即可。

• P(d|a)表示A門有汽車的情況下，主持人選擇B門的概率，其為1/2；
• P(a)表示A門有汽車的概率，其為1/3；
• P(d)可以從全概率公式求得，其為1/2：

P(d)=P(d|a)P(a)+P(d|b)P(b)+P(d|c)P(c)
P(d)=1/2*1/3+0*1/3+1*1/3=1/2

綜上得到：P(a|d)=1/2*1/3*2=1/3

在主持人選擇B門開啟后無汽車的情況下，參與者選A門有汽車的概率P(a|d)=1/3，因此后驗(yàn)概率并沒有發(fā)生變化，并不是直觀的1/2，而仍然是1/3。

因此如果做調(diào)換，那么相當(dāng)于參與者選擇了C門，計(jì)算過程類似，概率為2/3：

P(c|d)=P(d|c)P(c)/P(d)

7.蒙提霍爾問題的思考

想這個(gè)問題的時(shí)候，總覺得有漏洞，或者說必須在某些條條框框才能正常推演。

比如說假如主持人并不知道哪扇門后有汽車，他也是隨機(jī)選擇的。

比如說數(shù)據(jù)規(guī)模不一樣，9扇門，主持人幫你否定7個(gè)，顯然要換，正是因?yàn)閿?shù)據(jù)規(guī)模很小才帶來了和直覺相悖的感覺。

最后用Horst Hohberger的一段話概括，蒙提霍爾問題：

If you change, you win when your original choice was wrong;
if you don't change, you win when your original choice was right.

如果你想贏得汽車，兩種情況的概率：

• 不換情況下必須是最初選擇是對(duì)的才會(huì)贏取法拉利，概率1/3
• 調(diào)換情況下必須是最初選擇是錯(cuò)的才會(huì)贏取法拉利，概率2/3