用過DSP的應(yīng)該都知道Q格式吧；

• 1 前言

• 2 Q數(shù)據(jù)的表示

• 2.1 范圍和精度

• 2.2 推導

• 3 Q數(shù)據(jù)的運算

• 3.1 0x7FFF

• 3.2 0x8000

• 3.3 加法

• 3.4 減法

• 3.5 乘法

• 3.6 除法

• 4 常見Q格式的數(shù)據(jù)范圍

• 5 0x5f3759df

• 6 總結(jié)

1 前言

Q格式是二進制的定點數(shù)格式，相對于浮點數(shù)，Q格式指定了相應(yīng)的小數(shù)位數(shù)和整數(shù)位數(shù)，在沒有浮點運算的平臺上，可以更快地對浮點數(shù)據(jù)進行處理，以及應(yīng)用在需要恒定分辨率的程序中（浮點數(shù)的精度是會變化的）；
需要注意的是Q格式是概念上小數(shù)定點，通過選擇常規(guī)的二進制數(shù)整數(shù)位數(shù)和小數(shù)位數(shù)，從而達到所需要的數(shù)值范圍和精度，這里可能有點抽象，下面繼續(xù)看介紹。

2 Q數(shù)據(jù)的表示

2.1 范圍和精度

定點數(shù)通常表示為 ，其中m為整數(shù)個數(shù)，n為小數(shù)個數(shù)，其中最高位位符號位并且以二進制補碼的形式存儲；

• 范圍：
• 精度：

無符號的用 表示；

• 范圍：
• 精度：

2.2 推導

無符號Q格式數(shù)據(jù)的推導這里以一個16位無符號整數(shù)為例， 所能表示的最大數(shù)據(jù)的二進制形式如下圖所示；

所以不難看出， 的范圍大小和精度；根據(jù)等比數(shù)列求和公式得到，整數(shù)域最大值如下：

小數(shù)域最大值如下：

因此 的范圍滿足 ；

有符號Q格式數(shù)據(jù)的推導這里以一個16位有符號整數(shù)為例， 所能表示的最大數(shù)據(jù)的二進制形式如下圖所示；

所以不難求出， 的范圍大小和精度；根據(jù)等比數(shù)列求和公式得到，整數(shù)域最大值如下：

小數(shù)域最大值如下：

因此 最大能表示的數(shù)為： ；

所能表示的最小數(shù)據(jù)的二進制形式如下圖所示；

可以從圖中看到，該數(shù)表示為 ；

補充一下：負數(shù)在計算機中是補碼的形式存在的，補碼=反碼+1，符號位為1則表示為負數(shù)；
那么-4該如何表示呢？
以8 bit數(shù)據(jù)為例，如下所示；
原碼：0B 0000 100
反碼：0B 1111 011
補碼：0B 1111 100

綜上，可以得到有符號 的范圍是：

3 Q數(shù)據(jù)的運算

3.1 0x7FFF

最大數(shù)的十六進制為0x7FFF，如下圖所示；

3.2 0x8000

最小數(shù)的十六進制為0X8000，如下圖所示；

上述這兩種情況，下面都會用到。

3.3 加法

加法和減法需要兩個Q格式的數(shù)據(jù)定標相同，即 和 滿足以下條件；

int16_t q_add(int16_t a, int16_t b)
{
    return a + b;
}

上面的程序其實并不安全，在一般的DSP芯片具有防止溢出的指令，但是通常需要做一下溢出檢測，具體如下所示；

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int16_t q_add_sat(int16_t a, int16_t b)
{
    int16_t result;
    int32_t tmp;

    tmp = (int32_t)a + (int32_t)b;
    if (tmp > 0x7FFF)
        tmp = 0x7FFF;
    if (tmp < -1 * 0x8000)
        tmp = -1 * 0x8000;
    result = (int16_t)tmp;

    return result;
}

3.4 減法

類似于加法的操作，需要相同定標的兩個Q格式數(shù)進行相減，但是不會存在溢出的情況；

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int16_t q_sub(int16_t a, int16_t b)
{
    return a - b;
}

3.5 乘法

乘法同樣需要考慮溢出的問題，這里通過sat16函數(shù)，對溢出做了處理；

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// precomputed value:
#define K   (1 << (Q - 1))
 
// saturate to range of int16_t
int16_t sat16(int32_t x)
{
    if (x > 0x7FFF) return 0x7FFF;
    else if (x < -0x8000) return -0x8000;
    else return (int16_t)x;
}

int16_t q_mul(int16_t a, int16_t b)
{
    int16_t result;
    int32_t temp;

    temp = (int32_t)a * (int32_t)b; // result type is operand's type
    // Rounding; mid values are rounded up
    temp += K;
    // Correct by dividing by base and saturate result
    result = sat16(temp >> Q);

    return result;
}

3.6 除法

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int16_t q_div(int16_t a, int16_t b)
{
    /* pre-multiply by the base (Upscale to Q16 so that the result will be in Q8 format) */
    int32_t temp = (int32_t)a << Q;
    /* Rounding: mid values are rounded up (down for negative values). */
    /* OR compare most significant bits i.e. if (((temp >> 31) & 1) == ((b >> 15) & 1)) */
    if ((temp >= 0 && b >= 0) || (temp < 0 && b < 0)) {   
        temp += b / 2;    /* OR shift 1 bit i.e. temp += (b >> 1); */
    } else {
        temp -= b / 2;    /* OR shift 1 bit i.e. temp -= (b >> 1); */
    }
    return (int16_t)(temp / b);
}

4 常見Q格式的數(shù)據(jù)范圍

定點數(shù) 和浮點數(shù) 轉(zhuǎn)換的關(guān)系滿足以下公式：

其中 為 ，m表示整數(shù)位數(shù)，n表示小數(shù)位數(shù)；

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
#include <math.h>


int main()
{
    // 0111 1111 1111 1111
    int16_t q_max = 32767; // 0x7FFF
    // 1000 0000 0000 0000
    int16_t q_min = -32768; // 0x8000
    float f_max = 0;
    float f_min = 0;
    printf("\r\n");
    for (int8_t i = 15; i>=0; i--) {
        f_max = (float)q_max / pow(2,i);
        f_min = (float)q_min / pow(2,i);

        printf("\t| Q %d | Q %d.%d| %f | %f |\r\n",
               i,(15-i),i,f_max,f_min);
    }

    return 0;
}

運行得到結(jié)果如下所示；

5 0x5f3759df

Q格式雖然十分抽象，但是且看看這個數(shù)字0x5f3759df，感覺和Q格式有某種聯(lián)系，它是雷神之錘3中的一個算法的魔數(shù)，畢竟游戲引擎需要充分考慮到效率，具體的由來可以看一下論文《Fast Inverse Square Root》，下面是源碼中剝出來的快速平方根算法；

float Q_rsqrt( float number )
{
 long i;
 float x2, y;
 const float threehalfs = 1.5F;

 x2 = number * 0.5F;
 y   = number;
 i   = * ( long * ) &y;   // evil floating point bit level hacking
 i   = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
 y   = * ( float * ) &i;
 y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
 // y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed

 #ifndef Q3_VM
 #ifdef __linux__
   assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
 #endif
 #endif
 return y;
}  

6 總結(jié)

本文介紹了Q格式的表示方式以及相應(yīng)的運算，另外需要注意在Q格式運算的時候，兩者定標必須相同，對于數(shù)據(jù)的溢出檢測也要做相應(yīng)的處理。

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