濾波器是任何信號(hào)處理系統(tǒng)的關(guān)鍵組成部分，隨著現(xiàn)代應(yīng)用的日趨復(fù)雜，濾波器設(shè)計(jì)的復(fù)雜程度也日益提高。采用 FPGA 設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)的高性能濾波器的能力是模擬方法所望塵莫及的。另外，采用FPGA 設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器可以避免模擬設(shè)計(jì)中存在的某些問(wèn)題，特別是組件漂移和容差（在高可靠應(yīng)用中，由溫度過(guò)高、老化和輻射問(wèn)題造成）。這些模擬問(wèn)題會(huì)顯著降低濾波器的性能，特別是在通帶紋波等方面。

當(dāng)然， 數(shù)字模型也有自身的缺陷。濾波器數(shù)學(xué)運(yùn)算中的舍入可能會(huì)帶來(lái)問(wèn)題，因?yàn)樯崛胝`差會(huì)被累加，給性能造成不良影響，比如增大濾波器的噪聲基底。工程師可以采取多種方法最大程度地減輕這種影響，例如使用收斂舍入可以獲得比傳統(tǒng)舍入更好的性能。最終， 舍入誤差問(wèn)題的嚴(yán)重性與模擬器件相比得到了顯著降低。

將 FPGA 作為濾波器構(gòu)建模塊的主要優(yōu)勢(shì)之一在于，如果因?yàn)榧稍蚧蛘咝枨笞儎?dòng)原因需要調(diào)整性能，允許在設(shè)計(jì)過(guò)程的后期修改或者更新濾波器的參數(shù)，且產(chǎn)生的影響很小。

濾波器類(lèi)型和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

大多數(shù)熟知數(shù)字信號(hào)處理的工程師都知道濾波器的主要類(lèi)型有四種。低通濾波器只允許頻率低于預(yù)設(shè)截止頻率的信號(hào)通過(guò)。高通濾波器與低通濾波器相反，只允許頻率高于截止頻率的信號(hào)通過(guò)。帶通濾波器只允許頻率在預(yù)設(shè)帶寬內(nèi)的信號(hào)通過(guò)，不允許其它頻率的信號(hào)通過(guò)。帶阻濾波器與帶通濾波器相反，不允許頻率在預(yù)設(shè)帶寬內(nèi)的信號(hào)通過(guò)，但允許其它頻率的信號(hào)通過(guò)。

大多數(shù)數(shù)字濾波器都采用下列兩種方法之一來(lái)實(shí)現(xiàn)： 有限脈沖響應(yīng)(FIR) 和無(wú)限脈沖響應(yīng) (IIR)。首先我們深入探討如何設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn) FIR 濾波器。這種濾波器也常被稱(chēng)為窗口 sinc濾波器。

為什么我們首先以 FIR 濾波器為重點(diǎn)呢？?jī)煞N濾波器的最大區(qū)別在于有無(wú)反饋。對(duì)未采用反饋的 FIR 濾波器，在給定的輸入響應(yīng)下，濾波器的輸出最終會(huì)穩(wěn)定為 0。而對(duì)采用反饋的IIR 濾波器，在相同的給定輸入下，輸出不會(huì)穩(wěn)定為 0。

FIR 濾波器的設(shè)計(jì)由于未采用反饋，故天生具有穩(wěn)定性，因?yàn)闉V波器的所有極點(diǎn)都與原點(diǎn)重合。IIR 濾波器就沒(méi)有這么幸運(yùn)。由于在設(shè)計(jì) IIR 濾波器的時(shí)候，必須精心考慮其穩(wěn)定性，這樣窗口 sinc 濾波器對(duì)新接觸 DSP 技術(shù)的工程師來(lái)說(shuō)，更加易于理解和實(shí)現(xiàn)。

如果要求工程師繪制理想低通濾波器在頻域中的原理框圖，大多數(shù)工程師會(huì)畫(huà)出和圖 1 一樣的圖。

圖 1 所示的頻率響應(yīng)一般稱(chēng)為“磚墻型”濾波器。這是因?yàn)橥◣Ш妥鑾еg的過(guò)渡非常陡峭，要比現(xiàn)實(shí)中能夠?qū)崿F(xiàn)的陡峭很多。這種頻率響應(yīng)還具備其它“理想”特性，例如沒(méi)有通帶波紋以及具有理想的阻帶衰減。

如果將該圖圍繞 0 Hz 進(jìn)行對(duì)稱(chēng)擴(kuò)展，同時(shí)擴(kuò)展到 +/- FS Hz（FS 指采樣頻率），然后對(duì)響應(yīng)進(jìn)行離散傅里葉逆變換 (IDFT)，就可以得到該濾波器的脈沖響應(yīng)，如圖 2 所示。

這就是圖 1 所示理想濾波器頻率響應(yīng)的時(shí)域表示法，也稱(chēng)為濾波器內(nèi)核。FIR 或窗口 sinc 濾波器正是由這個(gè)響應(yīng)而得名，因?yàn)楫?huà)出 sinc 函數(shù)的曲線(xiàn)可以得到脈沖響應(yīng)：

結(jié)合濾波器階躍響應(yīng)， 頻率響應(yīng)、脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)提供了有關(guān)濾波器性能的所有信息，可用于判斷濾波器是否滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。

頻率響應(yīng)

頻率響應(yīng)是工程師在考慮濾波器時(shí)所習(xí)慣關(guān)注的問(wèn)題。它代表著濾波器改變頻域信息的性能。

通過(guò)頻率響應(yīng)可以觀察到截止頻率、阻帶衰減和通帶波紋。在該響應(yīng)中還可以清晰地觀察到通帶和阻帶之間的滾降，也稱(chēng)為過(guò)渡帶。通帶中的波紋會(huì)給濾波信號(hào)造成影響。阻帶衰減則表明濾波器輸出中存在多少不必要的頻率。這對(duì)需要抑制特定頻率的應(yīng)用意義重大，比如在通信系統(tǒng)中為頻分多路復(fù)用通道濾波。

脈沖響應(yīng)

從脈沖響應(yīng)中可以抽象出濾波器的系數(shù)。但是，要實(shí)現(xiàn)濾波器的最佳性能，標(biāo)準(zhǔn)的方法是采用窗函數(shù)。窗函數(shù)指給截?cái)嗟拿}沖響應(yīng)應(yīng)用額外的數(shù)學(xué)函數(shù)，以求減輕截?cái)鄮?lái)的副作用。

在圖 2 中，由于紋波的存在，脈沖響應(yīng)向外無(wú)限延伸，盡管紋波的振幅顯著降低，但永遠(yuǎn)不會(huì)降低至 0。因此，必須圍繞位于中心的主瓣，在兩側(cè)對(duì)稱(chēng)地按 N+1 的系數(shù)截?cái)嗝}沖響應(yīng)，這里 N 是期望的濾波器長(zhǎng)度（切記 N應(yīng)為偶數(shù)）。脈沖響應(yīng)被突然截?cái)鄷?huì)給濾波器的頻域性能帶來(lái)不良影響。如果對(duì)截?cái)嗟拿}沖響應(yīng)進(jìn)行離散傅里葉變換 (DFT)，可以觀察到通帶和阻帶都有波紋出現(xiàn)以及滾降性能的下降。這就是為什么一般會(huì)采用窗函數(shù)來(lái)改善性能的原因。

階躍響應(yīng)

對(duì)脈沖響應(yīng)進(jìn)行積分所得的階躍響應(yīng)體現(xiàn)著濾波器的時(shí)域性能以及濾波器自身如何影響該性能。觀察階躍響應(yīng)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注的三大參數(shù)分別是上升時(shí)間、過(guò)沖以及線(xiàn)性度。

上升時(shí)間指從振幅級(jí)的 10% 上升到 90% 所需的樣本數(shù)量，可顯示濾波器的速度。要在最終系統(tǒng)中具有實(shí)用性，濾波器必須能夠區(qū)分輸入信號(hào)中的不同事件，因此階躍響應(yīng)必須短于信號(hào)中各事件之間的間隔。

過(guò)沖是指濾波器添加至其正在處理的信號(hào)時(shí)產(chǎn)生的失真。降低階躍響應(yīng)中的過(guò)沖有助于判斷信號(hào)的失真是來(lái)自系統(tǒng)，還是來(lái)自系統(tǒng)正在測(cè)量的信息。過(guò)沖不但可增大失真來(lái)源的不確定性，降低最終系統(tǒng)性能，而且還可導(dǎo)致系統(tǒng)無(wú)法滿(mǎn)足所需的性能要求。

如果信號(hào)的上半部分和下半部分是對(duì)稱(chēng)的，則濾波器的相位響應(yīng)具有線(xiàn)性相位，這是確保階躍響應(yīng)的上升沿和下降沿相同的要件。

優(yōu)化濾波器，以在時(shí)域和頻域中同時(shí)實(shí)現(xiàn)良好的性能是非常困難的，在這一點(diǎn)上它也是毫無(wú)價(jià)值的。因此，必須明白需要處理的信息位于哪一個(gè)域中。對(duì)于 FIR 濾波器而言，需要處理的信息位于頻域中，因而頻率響應(yīng)占主導(dǎo)地位。

濾波器加窗

使用截?cái)嗝}沖響應(yīng)不能提供最佳性能數(shù)字濾波器，因?yàn)樗荒苷故救魏卫硐氲奶匦浴Ｒ虼嗽O(shè)計(jì)人員可采用視窗函數(shù)來(lái)改善濾波器的通帶紋波、滾降以及阻帶衰減性能。對(duì)于截?cái)嗾液瘮?shù)，有許多視窗函數(shù)可以使用，如高斯、巴特利特、海明、布萊克曼以及凱塞等。不過(guò)最常用的兩種視窗函數(shù)是海明和布萊克曼。下面將詳細(xì)介紹這兩種視窗。

采用這兩種視窗不但可降低通帶紋波，而且還可提高濾波器的滾降和衰減性能。圖 3 是采用布萊克曼和海明視窗后截?cái)嗾液瘮?shù)的脈沖響應(yīng)和頻率響應(yīng)情況。如圖所示，兩種視窗均可顯著改善通帶紋波狀況。

濾波器的滾降不僅由視窗決定，而且還由濾波器的字長(zhǎng)決定，即系數(shù)的數(shù)量，也就是常說(shuō)的濾波器抽頭。

海明視窗：

w[i] = 0.42 – 0.52 cos (2PI*i/N)

布萊克曼視窗：

w[i] = 0.42 – 0.52 cos (2PI*i/N)+ 0.08 cos(4PI*i/N)

方程式中 i 為 1 至 N 時(shí)，總數(shù)等于 N+1個(gè)點(diǎn)。

要將這些視窗應(yīng)用于截?cái)嗝}沖響應(yīng)，必須用視窗系數(shù)乘以截?cái)嗝}沖系數(shù)，得出所需的濾波器系數(shù)。

雖然視窗類(lèi)型決定了滾降頻率，但經(jīng)驗(yàn)法則告訴我們，對(duì)于所需的跳變帶寬，需要的抽頭數(shù)量為：N=4/BW，其中 BW 為跳變帶寬。

實(shí)現(xiàn)不同的濾波器拓?fù)?/b>