摘要 基于IEEE浮點(diǎn)表示格式及FFT算法，提出一種基2FFT的FPGA方法，完成了基于FPGA高精度浮點(diǎn)運(yùn)算器的FFT的設(shè)計(jì)。利用VHDL語(yǔ)言描述了蝶形運(yùn)算過(guò)程及地址產(chǎn)生單元，其仿真波形基本能正確的表示輸出結(jié)果。
關(guān)鍵詞 快速傅里葉變換；浮點(diǎn)；蝶形運(yùn)算；VHDL

    FFT作為數(shù)字信號(hào)處理中的重要的手段之一，主要在數(shù)字通信、語(yǔ)音信號(hào)處理、圖像處理、功率譜估計(jì)、仿真、系統(tǒng)分析、雷達(dá)理論、光學(xué)、醫(yī)學(xué)、地震以及數(shù)值分析等方面得到廣泛應(yīng)用。基于FPGA實(shí)現(xiàn)FFT，具有軟件編程的靈活性及電路擴(kuò)展性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。隨著集成電路技術(shù)進(jìn)步和制造工藝水平的提高，F(xiàn)PGA芯片具有的功能越來(lái)越強(qiáng)，成為快速實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)FFT的重要手段。采用基2法完成基于FPGA浮點(diǎn)運(yùn)算器的FFT。

1 基于FPGA浮點(diǎn)運(yùn)算器的FFT
1．1 浮點(diǎn)的IEEE標(biāo)準(zhǔn)格式
    設(shè)計(jì)采用單精度浮點(diǎn)運(yùn)算，IEEE定義的二進(jìn)制浮點(diǎn)格式為32位。結(jié)構(gòu)表示如圖1所示。

    將32位分為3部分：31位為符號(hào)位S，S為0時(shí)表示正數(shù)，為1時(shí)表示負(fù)數(shù)；30～23為指數(shù)E，是一個(gè)0～255之間的八位二進(jìn)制數(shù)，其實(shí)際的指數(shù)是E-127，所表示的指數(shù)范圍是2-127～2128；22～0表示尾數(shù)F，小數(shù)點(diǎn)前還隱藏了一位‘1’，單精度尾數(shù)可表示最大數(shù)為2(23+1)=16 777 216。因?yàn)?07<16 777 216<108，所以單精度浮點(diǎn)數(shù)的有效位數(shù)是7位，即浮點(diǎn)數(shù)的精度為10-6。為方便FFT的運(yùn)算，文中采用原碼存儲(chǔ)。
1．2 基2的DIT-FFT算法
    在蝶形運(yùn)算中采用復(fù)數(shù)形式表示數(shù)據(jù)。對(duì)于一個(gè)2點(diǎn)的蝶形運(yùn)算，輸入復(fù)數(shù)為A=x+jX，B=y+jY；經(jīng)運(yùn)算，輸出復(fù)數(shù)A’=(x+ycosφ+ Ysinφ)+j(X+Ycosφ-ysinφ)，B’=[x-(ycosφ+Ysinφ)]+j[X-(Ycosφ-ysinφ)]。
    設(shè)計(jì)主要針對(duì)8點(diǎn)FFT進(jìn)行設(shè)計(jì)，8點(diǎn)FFT算法的原理圖如圖2所示。

    整個(gè)FFT過(guò)程中共有三級(jí)蝶形運(yùn)算，每級(jí)蝶形運(yùn)算有4個(gè)蝶形運(yùn)算單元。在數(shù)據(jù)輸入時(shí)按照自然順序輸入，最后倒序輸出。
1．3 FFT處理器
    FFT處理器主要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行蝶形運(yùn)算及數(shù)據(jù)存取。設(shè)計(jì)采用基2蝶形運(yùn)算器，包括存儲(chǔ)器ROM和RAM，控制器及地址產(chǎn)生單元等。其FFT的結(jié)構(gòu)模型如圖3所示。

1．3．1 蝶形處理單元
    蝶形處理單元是整個(gè)FFT的中心環(huán)節(jié)，采用復(fù)數(shù)表示，將實(shí)部與虛部分別存儲(chǔ)，利用基2的DIT-FFT算法實(shí)現(xiàn)運(yùn)算。

    蝶形運(yùn)算過(guò)程包括一個(gè)乘法運(yùn)算和一個(gè)加／減法運(yùn)算。數(shù)據(jù)的讀取由時(shí)鐘單元的信號(hào)來(lái)控制：當(dāng)時(shí)鐘為c0時(shí)，讀取y；c1時(shí)，讀取Y；c2時(shí)，讀取x；c3時(shí)，讀取X。經(jīng)蝶形運(yùn)算后得到x’=x+(ycosφ+Ysinφ)，X’=X+(Ycosφ-ysinφ)，y’=x-(ycosφ+Ysinφ)，Y’=X-(Ycosφ-ysinφ)然后將數(shù)據(jù)寫(xiě)入同樣地址的RAM中，至此，2點(diǎn)的蝶形運(yùn)算單元完成。在蝶形運(yùn)算共需一個(gè)乘法器和兩個(gè)加法器。
    (1)浮點(diǎn)乘法器。乘法過(guò)程對(duì)浮點(diǎn)數(shù)的符號(hào)位、指數(shù)以及尾數(shù)分別進(jìn)行計(jì)算，符號(hào)異或，指數(shù)相加再減127，尾數(shù)加入隱含的‘1’后再進(jìn)行乘法運(yùn)算，如果尾數(shù)相乘的結(jié)果有溢出則指數(shù)加1尾數(shù)取前23位，若無(wú)溢出，則取最高位后的23位。但若輸入的數(shù)據(jù)有一個(gè)是0，則輸出為0。

    圖5的波形為兩浮點(diǎn)數(shù)的乘法運(yùn)算，輸入以16進(jìn)制表示，分別將不同類型的數(shù)據(jù)搭配進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果表示仿真正確。

    (2)浮點(diǎn)加法器。加法運(yùn)算是將兩數(shù)指數(shù)比較，存儲(chǔ)較大的指數(shù)，將指數(shù)小的尾數(shù)移位，再進(jìn)行加減操作，規(guī)格化后輸出。加法過(guò)程由多個(gè)模塊組合實(shí)現(xiàn)，包括比較模塊，右移模塊、加／減法模塊、前導(dǎo)零檢測(cè)模塊、左移模塊和結(jié)果整合輸出模塊。
    比較模塊主要對(duì)指數(shù)操作，判斷指數(shù)的大小，較大的指數(shù)暫作結(jié)果的指數(shù)，較小指數(shù)的數(shù)做移位操作，其階差為移位量。以下程序采用for循環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)移位，S(5 downto 0)存儲(chǔ)階差，最大值是32。

    然后尾數(shù)經(jīng)加減運(yùn)算后規(guī)格化并輸出，為了以標(biāo)準(zhǔn)浮點(diǎn)格式輸出，規(guī)格化需要前導(dǎo)零檢測(cè)。
   
    
    然后進(jìn)行移位操作，最后將規(guī)格化后的數(shù)據(jù)整合輸出，就完成兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的加法運(yùn)算。

    圖6的波形為兩個(gè)輸入浮點(diǎn)數(shù)的加法運(yùn)算數(shù)據(jù)，以16進(jìn)制表示。上述數(shù)據(jù)分別將不同類型的數(shù)據(jù)搭配運(yùn)算，數(shù)據(jù)表明該仿真結(jié)果正確。
1．3．2 地址產(chǎn)生單元
    地址產(chǎn)生單元主要是跟蹤FFT運(yùn)算進(jìn)度，進(jìn)而更好地調(diào)配存儲(chǔ)單元，及控制各相關(guān)模塊的運(yùn)行。
    (1)通過(guò)計(jì)數(shù)器來(lái)跟蹤記錄FFT計(jì)算的狀況。為方便對(duì)存儲(chǔ)單元操作，采用計(jì)數(shù)器來(lái)記錄FFT的計(jì)算情況。8點(diǎn)的FFT，每個(gè)單元包括4個(gè)數(shù)據(jù)，所以用一個(gè)4位計(jì)數(shù)器Butterfly表示全部的運(yùn)算狀態(tài)。一個(gè)2位級(jí)計(jì)數(shù)器Stage表示三級(jí)蝶形單元。當(dāng)Butterfly計(jì)數(shù)為4時(shí)，級(jí)計(jì)數(shù)器Stage加1，當(dāng)Stage計(jì)數(shù)為3時(shí)，表示FFT的計(jì)算操作完成。當(dāng)Butterfly計(jì)數(shù)為15時(shí)，輸入輸出信號(hào)置‘1’，反饋回控制器輸入輸出操作完成。
    (2)ROM讀取的地址。旋轉(zhuǎn)因子存儲(chǔ)在ROM中，由實(shí)部cos(2×k×π／8)和虛部sin(2×k×π／8)兩部分組成，讀取由時(shí)鐘單元的信號(hào)控制。由圖2可以看出每一級(jí)參加蝶形運(yùn)算的旋轉(zhuǎn)因子不同。
    (3)RAM數(shù)據(jù)地址。在整個(gè)地址單元中，分配RAM中數(shù)據(jù)的地址是重點(diǎn)，8點(diǎn)蝶形運(yùn)算共需16個(gè)存儲(chǔ)單元，數(shù)據(jù)地址的產(chǎn)生遵循一定規(guī)則。例如，Butterfly的信號(hào)為“a3a2a1a0”，則x，y的地址產(chǎn)生規(guī)則如表1所示。

    數(shù)據(jù)的讀取靠時(shí)鐘信號(hào)來(lái)控制。
1．4 FFT仿真結(jié)果分析
    圖7中輸入8點(diǎn)數(shù)據(jù)為[-l，1，2，-0．5，-3，-1，2，0]。仿真結(jié)果經(jīng)轉(zhuǎn)換后，用10進(jìn)制表示的最后結(jié)果為[0，3．76775-1．06065i，-8-0．5i，0．23225-1．06065i，0．5，0．23225+1．06065i，-8+0．5i．3．76775+1．06065i]。Matlab仿真后結(jié)果為[-0．5000，3．7678-1．0607i，-0．8000-0．5000i，0．2322-1．0607i，0．5000，0．2322+1．0607i，-0．8000+0．5000i，3．7678+1．0607i]兩結(jié)果很接近，誤差較小，仿真結(jié)果正確。

2 結(jié)束語(yǔ)
    文中在分析了FFT算法后，描述了運(yùn)算的蝶形單元，地址生成單元及FFT的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。從實(shí)際設(shè)計(jì)出發(fā)，完成了基于FPGA的單精度浮點(diǎn)運(yùn)算器的FFT設(shè)計(jì)，精度達(dá)到10-6。其輸出結(jié)果與Matlab仿真結(jié)果相近，達(dá)到了利用FPGA實(shí)現(xiàn)FFT的目的。