算法，作為解決問題的精確描述，是描述策略機制的系統(tǒng)方法。讓我們在周末輕松探討五個具有深遠影響的算法：Metropolis-Hastings算法、單純形法、快速傅立葉變換、快速排序算法，以及計算特征值的QR算法。這些算法在統(tǒng)計物理、優(yōu)化、信號處理、排序甚至人工智能領(lǐng)域中扮演著關(guān)鍵角色。

1987年，通用電氣的兩位程序員(William E Lorensen 和 Harvey E. Cline)創(chuàng)造了行進立方體算法(marching cubesalgorithm an algorithm)。這個算法使得醫(yī)生能夠通過CT和MRI掃描的數(shù)據(jù)進行可視化處理，從而在醫(yī)學(xué)診斷中發(fā)揮了關(guān)鍵作用，挽救了無數(shù)生命。

每當(dāng)你通過編程指導(dǎo)機器解決問題時，實際上是在創(chuàng)造算法。這些算法通過重新組織數(shù)據(jù)(如1和0)來執(zhí)行各種任務(wù)，從簡單的如使動物發(fā)聲到復(fù)雜的如控制機器人行走。盡管許多算法可能不實用或效率低下，但也有一些算法既高效又具有美學(xué)價值，甚至有的因其獨特性而顯得神奇。文章接下來將介紹十種顛覆式的算法。

1.波函數(shù)塌縮(Wave function collapse)

波函數(shù)塌縮是科學(xué)中最奇怪的事情之一。在雙縫實驗中，當(dāng)不對粒子進行觀測時，粒子表現(xiàn)出波動性質(zhì)，形成干涉圖樣。然而，一旦進行觀測，粒子的行為就會改變，顯示出典型的粒子特性，表現(xiàn)為單個點的撞擊。

這聽起來違反直覺，當(dāng)我們從“世界是模擬的”的角度去理解量子物理的神秘現(xiàn)象時，例如在雙縫實驗中粒子的波粒二象性，就好像宇宙本身是根據(jù)某種節(jié)省資源的算法運行的。這種解釋仿佛宇宙在沒有被觀測時為了效率而采用波動模式，就像一個巨大的計算系統(tǒng)試圖節(jié)約其運算資源一樣。這是一個值得哲學(xué)上思考的有趣概念，但波函數(shù)塌縮的一般思想也可以在程序上實現(xiàn)。

想象有一個視頻游戲的地圖，其中的地圖理論上可以無限延伸。對于這樣的游戲，制作一個無限大的地圖是不切實際的，因此需要一個算法來在游戲進行中實時、程序性地生成地圖。這意味著地圖的每個部分只有在玩家接近時才會被創(chuàng)建。

在量子物理中，波函數(shù)描述了一個量子系統(tǒng)(如一個粒子)的所有可能狀態(tài)。這個系統(tǒng)在未被觀察時存在于所有可能狀態(tài)的“超級位置”。當(dāng)我們進行觀測時，波函數(shù)“塌縮”，系統(tǒng)選擇了一個特定的狀態(tài)(比如粒子出現(xiàn)在一個特定位置)。

在游戲地圖的情況下，可以將整個未生成的地圖視為處于一種“超級位置”狀態(tài)，其中包含所有可能的地圖布局。當(dāng)玩家移動并觸發(fā)地圖生成時，算法就像波函數(shù)塌縮一樣選擇并創(chuàng)建一個特定的地圖區(qū)塊。這個過程是隨機的，但又遵循一致的規(guī)則(比如確保道路連貫)，從而提供既隨機又連貫的結(jié)果。

2.擴散算法(Diffusion algorithm)

擴散算法是由OpenAI最初開發(fā)的一種機器學(xué)習(xí)算法，它是像Dolly和Stable Diffusion這樣的圖像生成器背后的“魔法”。但擴散的概念實際上來自熱力學(xué)，在熱力學(xué)中，擴散是一個自然過程，其中粒子從高濃度區(qū)域自然地移動到低濃度區(qū)域，直到濃度均勻分布。這種擴散過程是朝著熵(無序度)增加的方向進行的，因為粒子從有序的集中狀態(tài)分散到更無序的均勻分布。

在人工智能中，尤其是在圖像生成的擴散算法中，這一過程被逆轉(zhuǎn)了。算法的起點是生成高熵的狀態(tài)，即充滿隨機噪聲的圖像，這類似于粒子在空間中均勻且隨機分布的高熵狀態(tài)。接著，算法逐步減少這種無序度，去除噪聲，最終產(chǎn)生一個低熵、高度結(jié)構(gòu)化的圖像。這個過程就像是將熵減少，將粒子從隨機分布轉(zhuǎn)變?yōu)橛行虻募蟹植迹c熱力學(xué)中的擴散過程相反。

在使用擴散算法之前，首先需要訓(xùn)練一個機器學(xué)習(xí)模型。這個模型需要學(xué)會如何從噪聲中重構(gòu)出清晰、連貫的圖像。擴散算法分為兩個階段。

首先，模型在前向階段學(xué)習(xí)如何向清晰圖像添加噪聲，直到圖像變得完全隨機;隨后，在逆向階段，模型再逆轉(zhuǎn)這一過程，從噪聲圖像中重構(gòu)出清晰、連貫的圖像。經(jīng)過大量標記圖像的訓(xùn)練后，這種算法能夠生成新的、獨特的圖像，適用于高計算強度的任務(wù)，如音頻和視頻內(nèi)容生成。

3.模擬退火算法(Simulated Annealing)

編程和優(yōu)化問題中一個常見的挑戰(zhàn)是，對于很多問題，存在多個可能的解決方案，而找到最佳解決方案通常并不簡單。

這里提到的“退火”一詞源自冶金學(xué)，是一種處理金屬的技術(shù)。這個過程涉及將金屬加熱到一定溫度，使其內(nèi)部結(jié)構(gòu)變得柔軟和可塑，然后緩慢冷卻。這樣做的目的是減少金屬內(nèi)部的應(yīng)力和缺陷，從而改善其性能，如增強韌性和減少硬度。在優(yōu)化算法中，特別是模擬退火算法中，這個退火過程被用作尋找問題最優(yōu)解的隱喻。算法開始時，類似于冶金中的高溫退火階段，允許對解決方案空間進行廣泛的隨機探索。這意味著算法不僅可以探索看起來有前景的解決方案，而且可以跳出局部最優(yōu)解，探索那些初看起來可能不是最佳的方案。

尋找最優(yōu)解就像是在一個充滿高峰和低谷的山脈中尋找最高點。簡單的局部搜索方法，如爬山算法，可能會陷入最近的局部最高點(局部最優(yōu)解)，而無法達到真正的最高點(全局最優(yōu)解)。退火算法通過在初期允許一些“壞”的移動(即使是朝向更低的點)，增加了逃離局部最優(yōu)并最終找到全局最優(yōu)的可能性。隨著時間的推移，算法逐漸減少這種探索性質(zhì)，趨向于穩(wěn)定在最優(yōu)解上。

因為初始時有許多局部峰值，所以溫度開始很高，允許算法自由探索。隨著時間的推移，溫度降低了，這減少了接受更差解決方案的可能性。這里的權(quán)衡是探索與利用。

4.睡眠排序(sleep sort)

有史以來最巧妙的排序算法無疑是睡眠排序。絕大多數(shù)排序算法，如快速排序、歸并排序等，都使用了一些經(jīng)典的計算機科學(xué)策略，比如分治法。這些算法通過將數(shù)組分解成較小的子數(shù)組來遞歸地進行排序，最終合并得到完整的有序數(shù)組。

然而，某位天才找到了一個更好的方法，但它有點不尋常。以下是Bash中的代碼樣子，它非常簡單。

它遍歷數(shù)組，然后對于每個元素，它打開一個新線程，睡眠時間與其元素值成比例，最后醒來后打印該元素。這是天才之舉，在這種排序方法中，每個數(shù)組元素被分配到一個獨立的線程，并根據(jù)其值進行相應(yīng)時間長度的睡眠。睡眠時間結(jié)束后，元素被輸出。這個過程實際上是利用了操作系統(tǒng)的CPU調(diào)度器來“排序”這些元素，因為值較小的元素會先被喚醒和輸出。這種方法的獨特之處在于它完全依賴于操作系統(tǒng)的線程管理和調(diào)度機制來實現(xiàn)排序，而不是傳統(tǒng)的比較和交換操作。

雖然這種方法在理論上可行并且創(chuàng)意十足，但它在實踐中效率低下、不可靠，并且受到操作系統(tǒng)調(diào)度策略的極大影響。在實際編程應(yīng)用中，依賴CPU調(diào)度器進行排序不僅效率低下，而且結(jié)果的準確性無法保證，特別是在處理大數(shù)據(jù)集時。

5.量子BOGO排序

另一個奇怪的排序算法是量子BOGO排序，它嘗試通過反復(fù)隨機猜測來排序數(shù)組，就像玩彩票一樣。但如果我們將相同的算法與量子力學(xué)應(yīng)用到多元宇宙，那么每一種可能的結(jié)果，比如一個數(shù)組的所有潛在排序方式，都已經(jīng)在某個平行宇宙中實現(xiàn)。在這種情況下，一個開發(fā)者面對一個未排序的數(shù)組，理論上在某個平行宇宙中已經(jīng)存在一個排好序的版本。雖然我們的技術(shù)還無法實現(xiàn)跨宇宙觀察或旅行，但如果能做到這一點，我們或許能夠簡單地觀察到其他宇宙中的已排序數(shù)組，并通過一種假想的傳送技術(shù)前往那個宇宙，從而獲得排序后的數(shù)組。這個思路雖然純屬幻想，但在理論上提供了一個有趣的解決大型數(shù)組排序問題的可能途徑。

6.shor算法

有史以來最實用和優(yōu)秀的算法之一是RSA算法(Rivest-Shamir-Adleman)。RSA算法是公鑰密碼系統(tǒng)中最著名和廣泛使用的算法之一。它在數(shù)字安全領(lǐng)域發(fā)揮著關(guān)鍵作用，特別是在互聯(lián)網(wǎng)通信中。RSA允許人們在互聯(lián)網(wǎng)上加密數(shù)據(jù)(如電子郵件)，并用數(shù)字簽名來驗證身份和信息的完整性。

RSA算法的安全性基于一個數(shù)學(xué)上的事實：將兩個大質(zhì)數(shù)相乘相對容易，但反過來，要從它們的乘積中找出這兩個原始的質(zhì)數(shù)卻極其困難和耗時。這種單向函數(shù)的特性使得RSA成為一個強大的加密工具。

盡管目前的計算機需要非常長的時間(例如300萬億年)來破解RSA加密，但量子計算的發(fā)展可能改變這一局面。量子計算機可以運行Shor算法(Peter Shor在1994年提出的一種量子算法)。Shor算法利用了量子計算的獨特特性來執(zhí)行質(zhì)因數(shù)分解。它依賴于量子位(qubits)、疊加態(tài)和量子糾纏等概念。量子位與經(jīng)典計算中的位不同，它可以同時表示0和1的疊加態(tài)。量子糾纏是量子位之間的一種特殊關(guān)聯(lián)，使得量子計算能夠并行執(zhí)行大量的計算，遠超傳統(tǒng)計算機。盡管Shor算法在理論上非常強大，但在實際應(yīng)用中還面臨著一些限制。到目前為止，使用量子計算機分解的最大數(shù)字是21。即使是像IBM的最先進的Q系統(tǒng)這樣的量子計算機，在嘗試分解稍大的數(shù)字(如35)時也未能成功。

隨著量子計算技術(shù)的進步，未來可能需要新的加密方法來替代或增強RSA，以保持網(wǎng)絡(luò)通信的安全。這意味著網(wǎng)絡(luò)安全領(lǐng)域可能會經(jīng)歷重大變革，尤其是在量子計算機變得更加強大和實用時。

7.行進立方體算法(Marching Cubes)

文章開頭，我提到了行進立方體算法。算法從一個三維標量場開始，這里的“標量場”指的是一個三維空間，其中每個點都有一個數(shù)字值(標量)。在醫(yī)學(xué)成像的上下文中，這些標量值可以代表不同的組織密度或其他醫(yī)學(xué)相關(guān)的度量。

算法選取空間中的一個點，并考慮該點及其周圍的八個相鄰點，共同構(gòu)成一個立方體。這九個點的標量值(實際上是立方體角上的八個點)被用來確定立方體如何與所需的等值面相交。這些值被看作是一個8位整數(shù)中的位(0或1)，代表了這個點是在等值面的內(nèi)部還是外部。

由于每個點可以是0或1，這樣一個立方體有2^8=256種不同的配置方式。每種配置對應(yīng)于一個特定的多邊形(或多邊形組合)，這些多邊形用于表示通過該立方體的等值面的部分。算法沿著整個標量場移動，對每個立方體重復(fù)這個過程，從而創(chuàng)建出一系列多邊形。這些多邊形拼接在一起，形成了一個完整的三維網(wǎng)格，代表了整個標量場中的等值面。

在醫(yī)學(xué)成像(特別是MRI)中，這個過程特別有價值，因為它允許從二維數(shù)據(jù)切片中重建出精確的三維模型，為醫(yī)生提供了更詳細的視圖來進行診斷和治療規(guī)劃。

8.拜占庭容錯機制(Byzantine Fault Tolerance)

然而，在現(xiàn)代，我們常常處理的是云中的分布式系統(tǒng)，這就引出了拜占庭將軍問題(Byzantine Generals Problem)。想象一下，你是拜占庭軍隊中的一名將軍，你和其他幾位將軍一起在一個城市周圍扎營，計劃在第二天早上發(fā)動攻擊。但如果其中一個將軍喝醉了，整個系統(tǒng)可能會崩潰。計算機有同樣的問題，有時它們可能會失敗或被黑客入侵，你永遠不知道何時何地會發(fā)生。

幸運的是，像PBFT(Practical Byzantine Fault Tolerance，實用拜占庭容錯)這樣的算法被設(shè)計出來解決這個問題，它們可以保證分布式網(wǎng)絡(luò)即使高達三分之一的節(jié)點出問題也能正常工作。

它的工作原理是，一個節(jié)點向其他節(jié)點廣播一個準備消息，表明它已準備好執(zhí)行將改變系統(tǒng)的代碼。其他節(jié)點回應(yīng)同意，然后在達到一定閾值后形成共識。一旦達成共識，原始節(jié)點向所有其他節(jié)點發(fā)送提交消息，然后它們就可以執(zhí)行更改，使整個系統(tǒng)的狀態(tài)保持一致。這樣的算法對區(qū)塊鏈技術(shù)和分布式云數(shù)據(jù)庫等至關(guān)重要。

9.Boids算法

然而，算法真正厲害的地方在于，它們還可以反映自然界，就像Boyd的人工生命程序。它創(chuàng)造于1986年，模擬了鳥類的群體行為。

Boids算法之所以引人注目，是因為它能夠從幾條簡單的行為規(guī)則出發(fā)，自然地產(chǎn)生出復(fù)雜且有組織的群體動態(tài)。

在Boids模型中，每個“boid”(代表一個個體，如一只鳥)遵循以下三條基本規(guī)則：

分離：為了避免擁擠，每個個體會避免與附近的其他個體太接近。這有助于防止碰撞和過度擁擠。

對齊：每個個體傾向于與周圍個體的平均方向和速度保持一致。這有助于群體保持同一方向上的協(xié)調(diào)運動。

聚合：個體會向其附近群體的平均位置移動，以保持群體的凝聚性。

這些規(guī)則雖然簡單，但當(dāng)應(yīng)用于群體的每個個體時，會產(chǎn)生出意想不到的復(fù)雜行為模式。這些行為模式包括有序的群體形態(tài)、群體的規(guī)避障礙行為等，這些復(fù)雜的圖案并不是直接通過編程指定的，而是從個體遵循簡單規(guī)則的集體行為中自然形成的。因此，Boids算法展示了從簡單規(guī)則到復(fù)雜系統(tǒng)行為的演化，這在計算機模擬和人工生命研究中是一個非常重要的成就。

10.Boyer-Moore算法

最后，讓我們看一個古老算法——Boyer-Moore字符串搜索算法。Boyer-Moore算法的一個令人驚訝的特性是，它在處理較大的文本時，效率反而更高。這看似違反直覺，因為通常我們會期望數(shù)據(jù)量越大，搜索所需的時間越長。

Boyer-Moore算法之所以高效，是因為它采用了一種從右到左掃描文本的方法。這與大多數(shù)字符串搜索算法從左到右的掃描方式不同。

算法的兩條規(guī)則：

壞字符規(guī)則：當(dāng)算法在文本中遇到不在搜索模式中的字符時(稱為“壞字符”)，它會使用一個預(yù)處理表來決定可以安全跳過多少字符。這可以顯著減少比較的次數(shù)。

好后綴規(guī)則：當(dāng)算法找到部分匹配但隨后出現(xiàn)不匹配時，它會利用另一個預(yù)先計算的表來決定跳過的字符數(shù)，這也有助于減少不必要的比較。

Boyer-Moore算法使用的這些規(guī)則被稱為啟發(fā)式方法。它們不保證在每個場景中都是最優(yōu)的，但通常比逐個字符比較的方法更有效。隨著文本長度的增加，Boyer-Moore算法通常可以跳過更多的字符，因此搜索速度更快。這使得它在實際應(yīng)用中(如UNIX系統(tǒng)中的grep命令)非常高效。