引言

激光器3D掃描技術(shù)作為目前較成熟的技術(shù)被廣泛應(yīng)用于各種工業(yè)用途及民用領(lǐng)域,然而在實(shí)際選型中通常忽略對激光器掃描結(jié)果的模擬環(huán)節(jié),以至于在現(xiàn)場達(dá)不到所需的檢測精度和效果。因此,需要根據(jù)激光器的特性建立空間數(shù)學(xué)模型,從理論上探討激光器掃描物體的點(diǎn)云數(shù)據(jù),從而實(shí)現(xiàn)模擬激光器2D或3D掃描的計(jì)算。

1二維激光器原理及其掃描線的數(shù)學(xué)模型

1.1二維激光器工作原理簡介

一維激光器的發(fā)射器發(fā)射激光器脈沖波,當(dāng)遇到被測物體時(shí),根據(jù)物體反射率的不同,激光就會(huì)以一定能量被返回,此時(shí)激光器的接收器收到反饋的能量后,通過檢測從發(fā)射到接收的時(shí)間差可以推導(dǎo)出激光器光心與被測物體的距離,其公式為:

式中:s為被測物體與光心的距離:t2-t1為發(fā)射和接收激光的時(shí)間差:C為光速。

二維及多線激光器在一維激光器的基礎(chǔ)上增加了轉(zhuǎn)動(dòng)光心的機(jī)構(gòu),使光心能快速移動(dòng),在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成一定范圍的一維掃描,此時(shí)可以實(shí)現(xiàn)二維掃描的功能。1.2二維激光器主要參數(shù)

二維激光器的性能參數(shù)主要包含測量距離、反射率、分辨率、測量誤差、角分辨率、掃描頻率等,通常在選型中主要關(guān)注角分辨率、掃描頻率、測量距離。角分辨率為相鄰檢測角度的最小變化角度,掃描頻率為1s時(shí)間內(nèi)完成二維全掃描的次數(shù)。

1.3空間坐標(biāo)系及坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換

首先對空間建立空間直角坐標(biāo)系并定義其繞3個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的方向角分別為a、8、y,如圖1所示。

在空間直角坐標(biāo)系中繞軸旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為:

旋轉(zhuǎn)前為[XOY0:0]T,旋轉(zhuǎn)后為[x1y1:1]T。將系數(shù)整理后,可以得到系數(shù)矩陣:

不難得出轉(zhuǎn)換矩陣A為可逆陣,且其逆矩陣A-l中的角度分別為-α、-8、-y,即符合反方向轉(zhuǎn)回的物理規(guī)律。

1.4二維激光器掃描線數(shù)學(xué)模型

忽略二維激光器發(fā)射器和接收器的相對位置,即定義接收位置為光心,實(shí)際掃描線會(huì)繞X軸、y軸、Z軸旋轉(zhuǎn)角度。定義3個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)角度分別為α、8、y,掃描角為9,角精度A9。以沿X軸掃描為例,光心位置為原點(diǎn),在空間直角坐標(biāo)系中相鄰掃描線如圖2所示。

此時(shí)掃描線在掃描面上移動(dòng),相鄰兩根掃描線之間的夾角即角分辨率A9,激光器的坐標(biāo)系相對世界坐標(biāo)系的3個(gè)軸旋轉(zhuǎn)了α、8、y。以旋轉(zhuǎn)前沿X軸向下掃描為例,激光器坐標(biāo)系中,當(dāng)前掃描線經(jīng)過原點(diǎn)及[-sin90-c°s9]T,逆旋轉(zhuǎn)、平移后得到[xlyl:l]T=A-l[-sin90-c°s9]T+[XOY0:0]T,[XOY0:0]為光心在世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo),將[xlyl:l]T、[XOY0:0]T代入空間直線的含參點(diǎn)斜式方程,可以得到m,n,p的相對關(guān)系,取確定值后,可以得到掃描線的參數(shù)方程:

式中:m,n,p為與α、8、y、9相關(guān)的常數(shù):由于掃描線為射線,1有取值范圍(取決于掃描方向)。

如求下一個(gè)掃描線的參數(shù)方程,其掃描角度為9+A9。

1.5二維激光器的誤差

激光器在二維掃描時(shí)可能出現(xiàn)誤差,其主要原因是光心旋轉(zhuǎn)中的角度偏差及檢測誤差。模擬旋轉(zhuǎn)過程中可能出現(xiàn)的角度偏差的方法是在當(dāng)前掃描角度中增加一個(gè)隨機(jī)誤差,其表達(dá)式為9+s9,其中s9為隨機(jī)掃描角度偏差,可根據(jù)激光器的特性定義。模擬檢測誤差則可以在掃描到的理論結(jié)果上增加一個(gè)掃描線的隨機(jī)位移量,記作ss。

1.6二維激光器的反射率

通常,由于激光器功率的限制,反射率會(huì)受到一定的影響,當(dāng)反射率很低且光心到物體的距離較長時(shí),激光器的發(fā)射能量會(huì)被物體表面吸收導(dǎo)致無法返回。在模擬時(shí)需要根據(jù)反射率推算其最大的掃描距離從而對結(jié)果加以修正,如超過閾值,則掃描線與物體的交點(diǎn)不能被正確讀到。

2激光器三維掃描的數(shù)學(xué)模型

2.1激光器三維掃描的方法

激光器的3D掃描是借助激光器作為檢測元件。其三維掃描方法有:(1)使用云臺,即激光器可以繞軸旋轉(zhuǎn),以獲得被測物體的三維點(diǎn)云數(shù)據(jù):(2)使用平移機(jī)構(gòu)帶動(dòng)激光器進(jìn)行掃描,也可以獲得被測物體的三維點(diǎn)云數(shù)據(jù):(3)使用多線激光器也可以獲得被測物體的粗略三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)。

2.2旋轉(zhuǎn)光心掃描

如圖3所示,激光器光心沿與X軸平行的方向掃描,同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸繞X軸旋轉(zhuǎn),這樣就可以取得被測物體的三維輪廓。在這種掃描方法下,轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角分辨率與激光器的掃描頻率有關(guān),忽略光速導(dǎo)致的偏差后,其對應(yīng)關(guān)系為:

式中:6為轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)等效角精度:a為轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)角速度:f為激光器的掃描頻率。

光心繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí),光心相對軸心在X、y、Z軸方向均有偏差,在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)需要首先確定光心的位置,可以利用公式(2)相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系求出當(dāng)前的光心位置,再利用1.4的內(nèi)容得到當(dāng)前時(shí)刻的掃描線方程。值得注意的是,多線激光器與旋轉(zhuǎn)光心的數(shù)學(xué)模型類似,此時(shí)光心與旋轉(zhuǎn)中心偏差很小,有時(shí)可以忽略。

2.3移動(dòng)光心掃描

如圖4所示,激光器沿與X軸平行的方向掃描,將光心沿與y軸平行的方向移動(dòng),即從A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn),此時(shí)也可以實(shí)現(xiàn)下方物體的三維掃描。

考慮加速度的情況下,當(dāng)前光心位置和前一時(shí)刻的位移量與激光器的掃描頻率有關(guān),其對應(yīng)關(guān)系可線性近似如下:

式中:△s為位移量:V0為前一時(shí)刻的瞬時(shí)速度:f為激光器掃描頻率:a為加速度。

當(dāng)光心存在多個(gè)方向的移動(dòng)時(shí),需將速度及加速度分解到空間直角坐標(biāo)系的3個(gè)坐標(biāo)軸進(jìn)行計(jì)算。

3激光器掃描線與常用空間圖形的交點(diǎn)計(jì)算

在1.4節(jié)中已經(jīng)求得了當(dāng)前二維激光器掃描線的參數(shù)方程y=nl+y0,那么掃描線與空間圖形的交點(diǎn)問題實(shí)際上就轉(zhuǎn)換為求l值。

3.1激光器掃描線與平面的交點(diǎn)

平面在空間直角坐標(biāo)系中的方程為Bx+Cy+D:+E=0,已知平面上3個(gè)點(diǎn)(其中取2個(gè)是最遠(yuǎn)的頂點(diǎn)以便確定平面上的點(diǎn)的取值范圍)[x1y1:1],[x2y2:2],[x3y3:3],代入后可求得系數(shù):

進(jìn)而將含參直線方程(如果有旋轉(zhuǎn)的情況可通過公式(2)將直線方程修正為平面的坐標(biāo)系的方程)代入平面方程中,可以求得l值(需注意直線與矩形平行,即下式中分母為0,t無解):

注意,點(diǎn)[XoY0:0]為光心,需將[XOY0:0]根據(jù)公式(2)旋轉(zhuǎn)再平移后修正為平面幾何中心的坐標(biāo)。

3.2激光器掃描線與矩形多面體的交點(diǎn)

將矩形多面體分解為多個(gè)矩形進(jìn)行分析,首先將掃描線折算到平面所在的坐標(biāo)系,根據(jù)3.1的內(nèi)容求取掃描線與平面的交點(diǎn),根據(jù)矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)確定在矩形范圍內(nèi)的交點(diǎn)為有效交點(diǎn),最后將該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)平移回世界坐標(biāo)系。

取矩形多面體上所有交點(diǎn)中與激光器光心的距離最短點(diǎn),即為當(dāng)前掃描線與該矩形多面體的交點(diǎn)。

3.3二維激光器掃描線與菱形多面體的交點(diǎn)

將菱形多面體分解為多個(gè)菱形進(jìn)行分析,取菱形的三點(diǎn),按照3.1節(jié)與平面交點(diǎn)的求取方法求得菱形平面上的交點(diǎn),此時(shí),假定菱形的兩個(gè)對角線為X軸和y軸,長度分別為a、b。將直線方程利用公式(2)旋轉(zhuǎn)到菱形平面并平移坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到菱心,交點(diǎn)[xy0]需滿足

公式

同樣將所求得的[xy0]經(jīng)過旋轉(zhuǎn)平移到世界坐標(biāo)系,即可求得激光器掃描線與菱形的交點(diǎn),進(jìn)而每個(gè)面均計(jì)算一下交點(diǎn),取與光心最近的點(diǎn),即為二維激光器與菱形多面體的交點(diǎn)。

3.4激光器掃描線與橢球形的交點(diǎn)

在空間直角坐標(biāo)系中,橢球形的表面空間方程為:

式中:[XoY0:0]為橢球形球心坐標(biāo):G、H、J分別為沿X軸、y軸的赤道半徑及極半徑。

當(dāng)G=H=J,則該空間圖形為球形。在橢球形表達(dá)式中可以以球心為坐標(biāo)原點(diǎn),將掃描線的直線方程旋轉(zhuǎn)平移到橢球形的參考坐標(biāo)系,再將經(jīng)過旋轉(zhuǎn)平移的公式(4)代入橢球形的方程求得l,此時(shí)大多數(shù)情況下會(huì)有2個(gè)l,取與光心最近的點(diǎn)即為掃描線與橢球形的交點(diǎn)。

3.5激光器掃描線與圓管的交點(diǎn)

在建立圓管的模型前,首先使得圓管的圓面平行于XOY面,長度方向?yàn)閆軸方向,如圖5所示。

定義圓管的幾何中心為[xlyl:l],外徑為Rl,內(nèi)徑為R2,高度為丑,當(dāng)內(nèi)徑R2=0時(shí),這個(gè)圖形為圓柱。將圓管分解為上下頂面及側(cè)面。

激光器與上下頂面的交點(diǎn)求法為:將激光器掃描線坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到圓管坐標(biāo)系,根據(jù)3.1的方法求取到上下頂面的交點(diǎn),并取滿足公式R22≤(x-xl)2+(y-yl)2≤Rl2的點(diǎn)。

圓管外側(cè)面的點(diǎn)滿足公式:

圓管內(nèi)側(cè)面的點(diǎn)滿足公式：

將公式(4)代入求得1值,將坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)平移到世界坐標(biāo)系,注意對于圓管,掃描線可能與其有4個(gè)交點(diǎn),即4個(gè)1值,取其中與光心距離最短的點(diǎn)即為圓管與激光器掃描線的交點(diǎn)。

4激光器掃描的模擬方法

根據(jù)前面所述,可以根據(jù)激光器的掃描模型求取每根掃描線的交點(diǎn),再進(jìn)行掃描面的旋轉(zhuǎn)或者光心的平移,可以通過程序?qū)崿F(xiàn)激光器線掃或3D掃描的模擬。

圖6為激光器掃描的模擬運(yùn)算流程圖。

4.1常用空間圖形的模擬3D掃描結(jié)果

模擬掃描長方體結(jié)果及其圖形如圖7所示。

模擬掃描球體結(jié)果及其圖形如圖8所示。

從圖中可以看出,激光器3D掃描球形的理論最大是掃到半個(gè)球,但與角精度的關(guān)系很大。

模擬掃描菱形斜面結(jié)果及其圖形如圖9所示。模擬掃描圓管結(jié)果及其圖形如圖10所示。

4.2多圖形混合的模擬結(jié)果點(diǎn)云圖形

結(jié)合圓管、長方體、斜面、球形等空間圖形,可以初步模擬各類基本的物體,利用對應(yīng)的空間關(guān)系模擬出引導(dǎo)車(實(shí)例參數(shù)如下:角精度0.25°,云臺轉(zhuǎn)動(dòng)速度10(°)/s,激光器采樣頻率25Hz,掃描角度0°~180°,光學(xué)中心即轉(zhuǎn)動(dòng)中心坐標(biāo),引導(dǎo)車底面中心)的掃描結(jié)果及點(diǎn)云圖形,如圖11所示。

由于目標(biāo)引導(dǎo)車的邊緣值為x方向±1500mm,x方向總長應(yīng)為-7600~7400mm,由結(jié)果可以看出,目前3D掃描的x方向理論誤差為約4.5mm,y方向理論誤差為約139.5mm。

將5706個(gè)計(jì)算結(jié)果導(dǎo)入Exce1表格,得到掃描結(jié)果的數(shù)據(jù)(截取部分?jǐn)?shù)據(jù))如圖12所示。

5結(jié)語

模擬激光器掃描結(jié)果的方法如下:依據(jù)激光器及3D掃描方法(平移或擺動(dòng))的特性可以取得其含旋轉(zhuǎn)參數(shù)、隨機(jī)角度及交錯(cuò)模式下的掃描線的數(shù)學(xué)模型,進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系,將被測物體分解成多個(gè)常用空間圖形,通過旋轉(zhuǎn)平移矩陣的修正,求取其與掃描線的各個(gè)交點(diǎn)后取最近的交點(diǎn):校驗(yàn)最近的點(diǎn)及物體反射率關(guān)系再加入隨機(jī)偏差,最終求得點(diǎn)云數(shù)據(jù)。此時(shí),通過數(shù)據(jù)已經(jīng)可以得出初步的掃描的誤差,并可以為進(jìn)一步研究算法結(jié)果和精度論證提供必要的理論點(diǎn)云數(shù)據(jù)。由于筆者水平有限,如有問題和錯(cuò)誤,請讀者諒解并指正。