FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個信號變換
到頻域。有些信號在時域上是很難看出什么特征的，但是如
果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號
分析采用FFT變換的原因。另外，F(xiàn)FT可以將一個信號的頻譜
提取出來，這在頻譜分析方面也是經(jīng)常用的。

雖然很多人都知道FFT是什么，可以用來做什么，怎么去
做，但是卻不知道FFT之后的結(jié)果是什意思、如何決定要使用
多少點(diǎn)來做FFT。

現(xiàn)在圈圈就根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來說說FFT結(jié)果的具體物理意義。
一個模擬信號，經(jīng)過ADC采樣之后，就變成了數(shù)字信號。采樣
定理告訴我們，采樣頻率要大于信號頻率的兩倍，這些我就
不在此羅嗦了。

采樣得到的數(shù)字信號，就可以做FFT變換了。N個采樣點(diǎn)，
經(jīng)過FFT之后，就可以得到N個點(diǎn)的FFT結(jié)果。為了方便進(jìn)行FFT
運(yùn)算，通常N取2的整數(shù)次方。

假設(shè)采樣頻率為Fs，信號頻率F，采樣點(diǎn)數(shù)為N。那么FFT
之后結(jié)果就是一個為N點(diǎn)的復(fù)數(shù)。每一個點(diǎn)就對應(yīng)著一個頻率
點(diǎn)。這個點(diǎn)的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始
信號的幅度有什么關(guān)系呢？假設(shè)原始信號的峰值為A，那么FFT
的結(jié)果的每個點(diǎn)（除了第一個點(diǎn)直流分量之外）的模值就是A
的N/2倍。而第一個點(diǎn)就是直流分量，它的模值就是直流分量
的N倍。而每個點(diǎn)的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。
第一個點(diǎn)表示直流分量（即0Hz），而最后一個點(diǎn)N的再下一個
點(diǎn)（實(shí)際上這個點(diǎn)是不存在的，這里是假設(shè)的第N+1個點(diǎn)，也
可以看做是將第一個點(diǎn)分做兩半分，另一半移到最后）則表示
采樣頻率Fs，這中間被N-1個點(diǎn)平均分成N等份，每個點(diǎn)的頻率
依次增加。例如某點(diǎn)n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出，F(xiàn)n所能分辨到頻率為為Fs/N，如果
采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1024點(diǎn)，則可以分辨到1Hz。
1024Hz的采樣率采樣1024點(diǎn)，剛好是1秒，也就是說，采樣1秒
時間的信號并做FFT，則結(jié)果可以分析到1Hz，如果采樣2秒時
間的信號并做FFT，則結(jié)果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率
分辨力，則必須增加采樣點(diǎn)數(shù)，也即采樣時間。頻率分辨率和
采樣時間是倒數(shù)關(guān)系。
假設(shè)FFT之后某點(diǎn)n用復(fù)數(shù)a+bi表示，那么這個復(fù)數(shù)的模就是
An=根號a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據(jù)以上的結(jié)果，
就可以計(jì)算出n點(diǎn)（n≠1，且n<=N/2）對應(yīng)的信號的表達(dá)式為：
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
對于n=1點(diǎn)的信號，是直流分量，幅度即為A1/N。
由于FFT結(jié)果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結(jié)果，
即小于采樣頻率一半的結(jié)果。

好了，說了半天，看著公式也暈，下面圈圈以一個實(shí)際的
信號來做說明。

假設(shè)我們有一個信號，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、
相位為-30度、幅度為3V的交流信號，以及一個頻率為75Hz、
相位為90度、幅度為1.5V的交流信號。用數(shù)學(xué)表達(dá)式就是如下：

S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

式中cos參數(shù)為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。
我們以256Hz的采樣率對這個信號進(jìn)行采樣，總共采樣256點(diǎn)。
按照我們上面的分析，F(xiàn)n=(n-1)*Fs/N，我們可以知道，每兩個
點(diǎn)之間的間距就是1Hz，第n個點(diǎn)的頻率就是n-1。我們的信號
有3個頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應(yīng)該分別在第1個點(diǎn)、第51個點(diǎn)、
第76個點(diǎn)上出現(xiàn)峰值，其它各點(diǎn)應(yīng)該接近0。實(shí)際情況如何呢？
我們來看看FFT的結(jié)果的模值如圖所示。

圖1 FFT結(jié)果
從圖中我們可以看到，在第1點(diǎn)、第51點(diǎn)、和第76點(diǎn)附近有
比較大的值。我們分別將這三個點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)拿上來細(xì)看：
1點(diǎn)： 512+0i
2點(diǎn)： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3點(diǎn)： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50點(diǎn)：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51點(diǎn)：332.55 - 192i
52點(diǎn)：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

75點(diǎn)：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76點(diǎn)：3.4315E-12 + 192i
77點(diǎn)：-3.0263E-14 +7.5609E-13i

很明顯，1點(diǎn)、51點(diǎn)、76點(diǎn)的值都比較大，它附近的點(diǎn)值
都很小，可以認(rèn)為是0，即在那些頻率點(diǎn)上的信號幅度為0。
接著，我們來計(jì)算各點(diǎn)的幅度值。分別計(jì)算這三個點(diǎn)的模值，
結(jié)果如下：
1點(diǎn)： 512
51點(diǎn)：384
76點(diǎn)：192
按照公式，可以計(jì)算出直流分量為：512/N=512/256=2；
50Hz信號的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號的
幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出來
的幅度是正確的。
然后再來計(jì)算相位信息。直流信號沒有相位可言，不用管
它。先計(jì)算50Hz信號的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
結(jié)果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
計(jì)算75Hz信號的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，
換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位也是對的。
根據(jù)FFT結(jié)果以及上面的分析計(jì)算，我們就可以寫出信號的表達(dá)
式了，它就是我們開始提供的信號。

總結(jié)：假設(shè)采樣頻率為Fs，采樣點(diǎn)數(shù)為N，做FFT之后，某
一點(diǎn)n（n從1開始）表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N；該點(diǎn)的模值
除以N/2就是對應(yīng)該頻率下的信號的幅度（對于直流信號是除以
N）；該點(diǎn)的相位即是對應(yīng)該頻率下的信號的相位。相位的計(jì)算
可用函數(shù)atan2(b,a)計(jì)算。atan2(b,a)是求坐標(biāo)為(a,b)點(diǎn)的角
度值，范圍從-pi到pi。要精確到xHz，則需要采樣長度為1/x秒
的信號，并做FFT。要提高頻率分辨率，就需要增加采樣點(diǎn)數(shù)，
這在一些實(shí)際的應(yīng)用中是不現(xiàn)實(shí)的，需要在較短的時間內(nèi)完成
分析。解決這個問題的方法有頻率細(xì)分法，比較簡單的方法是
采樣比較短時間的信號，然后在后面補(bǔ)充一定數(shù)量的0，使其長度
達(dá)到需要的點(diǎn)數(shù)，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。
具體的頻率細(xì)分法可參考相關(guān)文獻(xiàn)。

[附錄：本測試數(shù)據(jù)使用的matlab程序]
close all; %先關(guān)閉所有圖片
Adc=2; %直流分量幅度
A1=3; %頻率F1信號的幅度
A2=1.5; %頻率F2信號的幅度
F1=50; %信號1頻率(Hz)
F2=75; %信號2頻率(Hz)
Fs=256; %采樣頻率(Hz)
P1=-30; %信號1相位(度)
P2=90; %信號相位(度)
N=256; %采樣點(diǎn)數(shù)
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采樣時刻

%信號
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%顯示原始信號
plot(S);
title('原始信號');

figure;
Y = fft(S,N); %做FFT變換
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %顯示原始的FFT模值結(jié)果
title('FFT 模值');

figure;
Ayy=Ayy/(N/2); %換算成實(shí)際的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %換算成實(shí)際的頻率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %顯示換算后的FFT模值結(jié)果
title('幅度-頻率曲線圖');

figure;
Pyy=[1:N/2];
for i=1:N/2
Pyy(i)=phase(Y(i)); %計(jì)算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %換算為角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %顯示相位圖

原文 地址：http://computer00.21ic.org/user1/2198/archives/2008/48202.html