0 引言
    PID控制器因算法簡單、魯棒性好、可靠性高，一直是工業(yè)生產(chǎn)過程中應(yīng)用最廣的控制器。然而，實際生產(chǎn)過程往往具有非線性、時變不確定性，應(yīng)用常規(guī)PID控制不能達到理想的控制效果。這時，往往不得不采用模型預(yù)測控制、自適應(yīng)控制等先進控制策略來獲得更好的控制性能。但是也存在多種原因阻礙這些先進控制策略在實際中的應(yīng)用。其中一個主要的原因就是由于這類先進的控制算法在硬件、軟件和人員培訓(xùn)方面缺乏有效的支持，這阻礙了它們在DCS層上的實現(xiàn)。而且在參數(shù)整定方面，由于這類算法的參數(shù)常缺乏明確的物理意義，對于已熟悉PID參數(shù)整定的操作人員來說，也是不得不面對的問題。因此，近年來越來越多的研究人員就上層采用模型預(yù)測控制這類先進的控制算法，而底層保留傳統(tǒng)的PID控制算法，即所謂的預(yù)測PID控制算法，展開了一系列的研究。如P．Vega等人直接將經(jīng)典PID的參數(shù)引入到性能指標(biāo)中，再通過Taylor近似處理得到了次優(yōu)化的控制器參數(shù)。Miller提出了一種隨機預(yù)測PID控制算法，其在數(shù)學(xué)上等于穩(wěn)態(tài)加權(quán)廣義預(yù)測控制算法，并先后成功應(yīng)于化肥廠熱交換器的溫度控制和廢水裝置溶氧濃度的控制。在文獻[5]中，MASARU KATAYAMA根據(jù)PID與一般GPC控制律之間的對應(yīng)關(guān)系，直接計算出PID參數(shù)的值，本文在其基礎(chǔ)上，采用階梯式策略，避免了參數(shù)整定過程中復(fù)雜的矩陣求逆運算，并給控制輸出引入較強的階梯約束，改善了控制性能的調(diào)節(jié)靈活性。另外，文中分析了該方法在整定大延時對象的控制器參數(shù)時所引起的誤差的原因，并通過引入smith預(yù)估器，有效地改善了這類系統(tǒng)的控制效果。

1 整定算法
1．1 系統(tǒng)描述及PID控制律介紹
    考慮到GPC算法的需要，本文采用受控自回歸積分滑動平均模型(CARIMA)描述被控對象：
    
    其中，y(t)和u(t)為系統(tǒng)在t時刻的輸出值和控制量；ζ(t)為零均值、方差有界的白噪聲；k為系統(tǒng)的最小時延；△=1-z-1為差分算子；A(z-1)、B(z-1)分別為后移算子z-1的na和nb階多項式，且A(z-1)為首一多項式。
    文中控制器采用I-PD型結(jié)構(gòu)，該控制律在改變設(shè)定值時，控制器輸出不至于有太大的變化，增強了系統(tǒng)的抗擾動能力，另外可以很方便地得到此I-PD控制律與GPC控制律之間的聯(lián)系，從而可以依據(jù)GPC思想來進行PID參數(shù)的整定。其具體形式為：
    
    其中，e(t)=w(t)-y(t)為誤差信號，w(t)為參考信號，kc、Ti、Td分別為比例增益、積分時問和微分時間，Ts為采樣時間。對上式進行展開整理可得如下形式：

1．2 SGPC算法
    按照GPC的一般理論，由模型(1)和Diophantine方程，得到t時刻對未來t+k+i(i=0，1，L，P-1)時刻系統(tǒng)輸出的最優(yōu)預(yù)測：

    為最優(yōu)預(yù)測中的自由響應(yīng)部分，F(xiàn)k+i(z-1)和Gk+i(z-1)是由Diophantine方程確定的z-1的多項式，是對象階躍響應(yīng)的第l項系數(shù)，可以寫成矩陣形式Y(jié)=Y1+G·△U，則實際的輸出為Y＝Y(jié)＋E，E為誤差向量。

    GPC一般性能指標(biāo)為

   
    其中△U1=(△ut△ut+1…△ut+m-1)，m為控制步長，λ為控制增量的權(quán)重。
    由上述各式，根據(jù)傳統(tǒng)的GPC算法，令J對△U1的偏導(dǎo)數(shù)為0，可以得到一個控制量序列[6，9]，為簡化計算，Diophantine方程一般用遞推算法求解，但仍然不能避免矩陣求逆，計算量大，且不能保證矩陣可逆，計算中還會出現(xiàn)數(shù)值病態(tài)問題，在實際應(yīng)用中存在著較大的安全隱患。
    為避免傳統(tǒng)GPC中的矩陣求逆問題，在算法中引入階梯式策略[6]。令

    由Diophantine方程可知F(1)=Q，因此式(13)亦可表示為式(5)的形式，此時

1.3 整定結(jié)果

    由式（4）與式（14）的對應(yīng)關(guān)系，我們可以比較得到PID控制器各參數(shù)（其中Ts為采樣周期）如下：

2 整定算法的分析

2.1  參數(shù)調(diào)節(jié)的問題

本文通過引入階梯因子，避免了參數(shù)整定過程中矩陣求逆，大大簡化了計算。同時，在實際系統(tǒng)中，由于執(zhí)行機構(gòu)性能的限制，若控制量變化頻率高，不僅執(zhí)行機構(gòu)動作跟不上，起不到作用，而且會增加執(zhí)行機構(gòu)的磨損。而階梯式策略假定控制增量服從一個等比序列，這相當(dāng)于給控制增量加了一個較強的限制。另外，由于引進階梯因子后，加權(quán)因子λ性能的影響減小，而且其對于控制量的抵制作用也變得比較復(fù)雜，因此我們主要可以通過β來調(diào)節(jié)對應(yīng)PID控制器的魯棒性與快速性。

2.2 整定誤差的Smith補償

    在前述的算法推導(dǎo)中，可以發(fā)現(xiàn)，為了建立I-PD與SGPC之間的相互聯(lián)系，對多項式X（z-1）進行了靜態(tài)處理，由式（12）與 式（13）可以看出，這樣的處理，相當(dāng)于認為過去k+nb-1步的輸入變化量都相等，且等于當(dāng)前時刻的輸入變化量，即△ut-knb+1=△ut-k-nb+2=…=△ut，而實際運行中，在系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)階段，這種關(guān)系顯然總是不成立的。這種近似處理，在系統(tǒng)無延時或小延時，即k取值很小時，影響可以忽略，但隨著時延步數(shù)的加大，這種處理對系統(tǒng)魯棒性地影響必將逐漸加劇，所以需要對具有大延時的系統(tǒng)進行補償。因此，本文在系統(tǒng)中引入Smith預(yù)估器，以消除系統(tǒng)的時延影響，改善大延時系統(tǒng)的控制效果。

    由于常規(guī)Smith預(yù)估器在模型失配時存在低魯棒性問題，因此在應(yīng)用中可采用文獻[8]中的自適應(yīng)方案，即首先通過單變量尋優(yōu)方法估計實際過程的純滯后，然后再用帶遺忘因子的最小二乘法辨識過程模型的其他參數(shù)，以在線修正模型。這樣系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)可以設(shè)計成圖1所示的形式。從圖中可以看出，若系統(tǒng)無延時，系統(tǒng)等同于簡單的預(yù)測PID控制回路，而當(dāng)系統(tǒng)有時延時，延時對系統(tǒng)的影響即可由smith預(yù)估器消除，而預(yù)測PID參數(shù)則僅需根據(jù)無時延模型Gm(s)來整定，這樣就可以避免時延帶來的參數(shù)整定誤差。

3 仿真及分析
    為仿真需要，考慮以下單變量模型：

   
P=10，m=5，λ=1，B與k的值按仿真需要選取。

    圖2所示為K=7，β分別取0．75、0．95、1．05與1．15時，PID控制系統(tǒng)(無Smith補償)的響應(yīng)輸出曲線，從圖中可見，基于SGPC整定的PID控制器的動態(tài)性能可以很容易地通過選擇不同的B值來調(diào)節(jié)，以獲取合適的控制器參數(shù)，隨著B取值的增加，系統(tǒng)的超調(diào)越小，響應(yīng)速度則越慢，充分保持了SGPC控制的這一特點。
    圖3中，在110s處設(shè)定值發(fā)生幅值為20％、寬度為10s的脈沖擾動，以及在200s處，對象模型躍變?yōu)锳1(z-1)=1-0．99z-1+0．25z-2，以及B1(z-1)=0．57+O．31z-1。從圖中結(jié)果的對比可以看出，預(yù)測PID(β=0．95)比常規(guī)PID(Z-N法整定)控制器具有更好的動態(tài)響應(yīng)特性，并且在出現(xiàn)外部擾動以及對象內(nèi)部特性發(fā)生變化時體現(xiàn)出了更強的抗干擾性與魯棒性。

    圖4則是在其他參數(shù)保持不變(β=1．35)，時延步數(shù)分別取值為5、20、40與110時，系統(tǒng)(無Smith補償)的響應(yīng)特性曲線，可以發(fā)現(xiàn)，隨著時延的增加，系統(tǒng)的超調(diào)量及響應(yīng)時間都有所增加，動態(tài)性能逐漸變差。由前文的分析可知，系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)性能可以通過改變β的大小來調(diào)節(jié)，另外在大時延系統(tǒng)中也可以通過引入Smith預(yù)估器來補償時延，這里以k=110為例，對這兩種方法進行比較，結(jié)果如圖5所示(800s處模型躍變?yōu)锳1(z-1)，B1(z-1)以及時延k變?yōu)?00)。很顯然，增加B的值，雖然可以很好地改善系統(tǒng)的超調(diào)量，但卻無法兼顧系統(tǒng)的響應(yīng)時間，這對于那些對系統(tǒng)超調(diào)及響應(yīng)時間都有要求的對象來說是不可取的，而加入Smith預(yù)估補償?shù)姆椒?，則可以消除延時的影響，使大時延系統(tǒng)的超調(diào)量及響應(yīng)速度都得到大大改善，并且很好地保持了系統(tǒng)的魯棒性。

4 結(jié)論
    文中討論了基于SGPC的PID參數(shù)整定問題。仿真結(jié)果表明，此方法較常規(guī)PID具有更好的控制性能，而且自適應(yīng)Smith預(yù)估器的引入可以克服大時延系統(tǒng)的整定誤差，并且充分保持了系統(tǒng)的魯棒性。本研究為工業(yè)過程控制中的大滯后、時變等復(fù)雜系統(tǒng)的控制提供了一種良好的選用方案。