添加到示波器或數字化儀的快速傅立葉變換 (FFT) 可以測量所采集信號的頻域頻譜。這提供了一個不同且通常有用的視角;信號可以被視為幅度或相位與頻率的關系圖(圖 1)。

圖 1 100 MHz 正弦波的幅度 FFT 是位于 100 MHz 處的單條譜線。脈沖幅度為 150 mV，與輸入正弦波的峰值幅度匹配。

有許多因素會影響 FFT 垂直讀數，包括輸出類型的選擇、FFT 處理問題、信號持續(xù)時間和非 FFT 儀器特性。本文將重點討論這些問題。

FFT垂直輸出格式

FFT 計算基于離散傅里葉變換 (DFT)，如下式所示：

其中：

X(k) = 頻域點

x(n) = 時域樣本

n = 時間樣本索引

k = 頻點索引

N = 記錄中輸入樣本的數量

傅里葉變換的物理解釋是輸入樣本 x(n) 通過乘以方程中復指數 e -jπkn/N表示的一系列正弦曲線來測試。在每個測試頻率，對產品進行平均。僅當輸入具有測試頻率的能量時，結果才非零。

這是一個數學上復雜的方程，每個輸出點都有兩個元素。計算通常計算每個輸出點的實部和虛部。根據計算出的實部和虛部 FFT 輸出分量，可以以多種格式顯示輸出。

FFT 原生輸出數據類型實部 (R) 和虛部 (I) 均以伏特為單位表示，所有其他格式均源自它們：

線性幅度(伏特)= (R 2 +I 2 ) 1/2

幅度平方(伏特2)= R 2 +I 2

相位(弧度)= TAN -1 (I/R)

功率譜(dBm) = 10*Log 10 {(R 2 +I 2 )/1 mW)}

功率譜密度(dBm/Hz) = 10*Log 10 {(R 2 +I 2 )/(1mW*Δf*ENBW)}

其中：

R = FFT 的實部

I = FFT 的虛部

Δf = 分辨率帶寬

ENBW = 有效噪聲帶寬，取決于權重

不同的示波器供應商可能會提供這些 FFT 輸出格式的各種組合，并且可能會以不同的方式縮放它們。在此示例中，基于Teledyne LeCroy 的 Maui Studio應用程序(該應用程序模擬了許多示波器)，FFT 可用這五種格式以及本機實數和虛數格式。

圖 1 中顯示的線性幅度格式按均方根值計算，但按比例縮放以將頻譜幅度讀取為峰值伏特，以便頻譜線的峰值幅度與輸入正弦波的峰值幅度相匹配。

功率譜格式刻度為對數，值以相對于毫瓦 (dBm) 的分貝為單位。功率譜密度將功率譜值歸一化為有效分辨率帶寬，使其值不隨分析帶寬的變化而變化。它以 dBm/Hz 為單位表示。

影響FFT垂直輸出的FFT處理因素

FFT 產生的頻譜是離散的;它僅在 k 個均勻間隔的頻率值處具有有效的幅度數據。 FFT 輸出的離散特性可能會在解釋頻譜幅度時造成一些混亂。您可能會認為 FFT 輸出是輸入通過一組帶通濾波器的結果，這些帶通濾波器的中心頻率偏移固定的頻率增量，有時被描述為 FFT bin 寬度或分辨率帶寬。如果輸入信號頻率落在這些帶通濾波器之一的中心，則輸出端會顯示完整的輸出幅度。如果輸入信號頻率落在兩個帶通濾波器中心頻率之間，則幅度會較低(圖 2)。

FFT 的分辨率帶寬是輸入信號持續(xù)時間的倒數。在我們的示例中，輸入時間信號的持續(xù)時間為 5 μs，分辨率帶寬為 200 kHz。將輸入頻率精確設置為 50 MHz，使信號位于分辨率帶寬的中心，并且頻譜峰值的幅度為 150 mV。

圖 2 FFT 輸出的展開視圖顯示了輸入頻率以分辨率帶寬一半的增量變化時的幅度響應。

將輸入頻率更改為 50.1 MHz 將兩個濾波器之間的輸入信號置于 50.0 MHz 和 50.2 MHz 之間。能量在兩個濾波器之間分配，峰值幅度降至 95.6 mV，損失 3.9 dB。以 100 kHz 為增量步進頻率，可以看到 FFT 輸出幅度上升和下降。這稱為“柵欄”效應或“扇貝”損失，它出現在所有 FFT 計算中。

當輸入頻率變化時出現的另一個問題可以通過查看圖 3中的 FFT 基線更容易看出。除了較低的峰值幅度之外，在單元之間移動輸入頻率也會擴展并提高頻譜基線。當頻率為 50.0 MHz 時，輸入波形的起始點和終止點(以黃色顯示在左上網格中)處于同一電平，名義上為零伏。當輸入頻率為 50.1 MHz 時，如左下紅色網格所示，起始點和終止點處于不同的級別。

FFT 計算是循環(huán)計算，最后一個點循環(huán)回第一個點，因此幅度值的變化看起來像是不連續(xù)的。這是角度調制的一種形式，由于調制邊帶而擴展頻譜，并導致頻譜基線在與受激單元相鄰的頻率單元中升高;這稱為頻譜泄漏。相鄰單元中的任何信號都會與泄漏分量結合，從而改變該單元中的幅度。當相鄰小區(qū)中的信號幅度較小時，這會導致最大誤差。

圖 3如果輸入頻率不是以單元為中心，則時間記錄的第一個和最后一個點具有不同的幅度，并且能量會擴散或泄漏到相鄰單元中，從而改變這些單元中的幅度。

這兩種影響都可以通過對信號輸入進行幅度調制來抵消，從而迫使端點為零幅度。這個過程稱為加權，調制波形稱為加權窗口。窗函數的形狀決定了頻譜響應，包括頻譜線的形狀和任何邊帶的幅度。常用加權函數的特點如表1所示。

表1常用FFT加權(窗)函數的特點

FFT窗函數特點

窗式最高旁瓣 (dB)扇貝損耗 (dB)有效噪聲帶寬(單元)相干增益(dB)

長方形(無)-133.921.000.0

馮·漢恩 (Hanning)-321.421.50-6.02

漢明-431.781.37-5.35

平頂-440.013.43-11.05

布萊克曼·哈里斯-671.131.71-7.53

該表總結了每個窗口最小化旁瓣和扇貝損失的能力。請注意，有效噪聲帶寬 (ENBW) 拓寬了 FFT 濾波器單元的寬度。細胞越寬，扇貝損失越少。圖 2 所示的 3.9 dB 損耗(使用矩形加權)可以通過使用平頂加權降低至 0.01 dB。

另請注意，由于頻譜泄漏，應用加權會降低旁瓣幅度。相干增益是應用加權函數時幅度的變化。大多數示波器供應商都會補償這種衰減，以便更改所選的加權函數不會改變顯示的信號幅度。

圖 4顯示了窗函數對同一輸入信號的譜線產生的影響。

圖 4加權窗口的選擇會影響 FFT 單元頻率響應的形狀。較窄的窗口可產生更好的頻率分辨率，而較寬的窗口可減少扇貝損耗和頻譜泄漏。

譜線變寬，如 ENBW 所示。更廣泛的響應減少了扇貝損失，這是有道理的，因為相鄰單元中的信號將以更高的幅度重疊以獲得更廣泛的響應，從而最大限度地減少扇貝損失。加權函數還影響旁瓣的幅度。在沒有加權的情況下，最高旁瓣比頻譜峰值低 -13 dB。加權函數可通過 Blackman-Harris 加權函數將其降低至 -67 dB。

窗函數的選擇取決于用戶的需要。如果您測量的瞬態(tài)小于采集窗口，則不應使用窗函數，因為頻譜峰值的幅度將根據瞬態(tài)在采集窗口中的位置而變化。在這種情況下，矩形窗口(無加權)是最佳選擇。較窄的窗口響應可提供更好的頻率分辨率，而較寬的響應(Blackman Harris 或平頂)可產生更準確的幅度測量。如果您兩者都需要，那么馮漢恩或漢明加權是一個很好的折衷方案。大多數示波器使用 Von Hann 或 Hanning 加權作為默認加權窗口。

頻率響應和幅度平坦度

影響 FFT 垂直輸出電平的另一個問題是示波器或數字化儀前端的頻率響應和幅度平坦度。請記住，信號幅度將在儀器帶寬下衰減 1 或 3 dB，具體取決于制造商的帶寬規(guī)格。此外，大多數供應商都有頻率響應平坦度的規(guī)范。該值通常約為 0.25 至 1.0 dB。對于特定的設置，平坦度通常是可重復的并且可以校正。使用的任何探頭也可能影響儀器的頻率響應平坦度。

信號持續(xù)時間對 FFT 峰值幅度的影響

如果輸入信號持續(xù)時間小于完整輸入記錄長度，它也會影響 FFT 的幅度。請記住，FFT 的線性幅度基本上是 rms 計算，預計幅度將與相對于輸入記錄長度的輸入信號占空比成正比。圖 5顯示了對具有六個不同持續(xù)時間的信號的 FFT 峰值幅度響應。

圖 5顯示了信號持續(xù)時間對 FFT 峰值幅度響應的影響。

左上方網格中的 M1 跡線顯示了 150 mV 峰值輸入信號，填充了 500 ns 輸入記錄長度;這是參考信號。該網格下方是信號的 FFT，顯示峰值幅度為 150 mV。跡線 M3(左欄下方的第三個網格)顯示信號持續(xù)時間減少至 400 ns 或可用記錄長度的 80%。該跡線下方是峰值幅度為 120 mV 的 FFT。信號持續(xù)時間是輸入記錄長度的 80%，峰值 FFT 響應是整個持續(xù)時間信號的 80%。信號持續(xù)時間以輸入記錄長度的 60%、40%、20% 和 10% 為步長減少，峰值 FFT 響應呈線性變化。

FFT 垂直或幅度響應受到許多因素的影響，在使用 FFT 時應牢記這些因素。它與輸入信號電平成正比。輸入信號鏈中頻率響應變化引起的輸入電平變化會導致 FFT 幅度響應變化。當信號不在 FFT 頻率單元的中心時，輸入信號的頻率可能會導致由扇貝損耗和頻譜泄漏產生的 FFT 幅度變化。這種效應與頻率相關，并且可以通過使用加權來改善。最后，FFT 幅度響應受到相對于輸入記錄長度的信號持續(xù)時間的影響。