傅立葉分析可以將時域信號與頻域信號進行轉(zhuǎn)換。快速傅立葉變換（FFT）計算在獲取時間相關的直流信號（如電流、電壓）并將其轉(zhuǎn)換為頻率和基于交流的參數(shù)，如電流譜密度、1/f噪聲、熱噪聲和交流阻抗時非常有用。源測量單元（SMU）和脈沖測量單元（PMU）是4200A-SCS參數(shù)分析儀的模塊，用于在時域測量和加載輸出電流或電壓。儀器對這些基于時間的測量可以通過FFT計算轉(zhuǎn)換為頻域的參數(shù)。

從Clarius+ V1.9軟件發(fā)布開始，4200A-SCS參數(shù)分析儀加載了FFT分析功能，能夠自動對時域測量進行基于頻率的計算，而無需下載數(shù)據(jù)并在單獨的工具中執(zhí)行分析。并且能夠更快地獲得重要的測試結(jié)果。本文給出了這些功能的說明以及FFT參數(shù)提取的一些典型案例，包括使用SMU和PMU進行電流譜密度測量，電阻熱噪聲測量以及RC電路的交流阻抗計算。

Clarius公式編輯器中的FFT相關功能

圖1. 在Clarius軟件的函數(shù)編輯器中的FFT功能

Clarius軟件有一個內(nèi)置的公式編輯器，能夠?qū)y試數(shù)據(jù)和其他計算結(jié)果進行數(shù)據(jù)計算。公式編輯器提供了各種計算函數(shù)、常用數(shù)學運算符和常用常量。從Clarius V1.9版本開始，F(xiàn)FT公式已添加到編編輯器中。圖1顯示了帶有FFT的函數(shù)編輯器的截圖。

表1列出了內(nèi)置的FFT函數(shù)及其描述。這些方程對輸入數(shù)組的實部和虛部行FFT變換或FFT逆變換，然后獲得對應的輸出實部或虛部分量。其中兩個公式從輸入時間數(shù)組返回頻率數(shù)組。平滑函數(shù)通過將高頻分量歸零，對輸入數(shù)組進行數(shù)字濾波。

表1. FFT公式和描述

在使用FFT公式時，最好以均勻間隔的時間間隔獲取數(shù)據(jù)。當將時間數(shù)組轉(zhuǎn)換為頻率數(shù)組時，F(xiàn)FT_Freq函數(shù)允許用戶輸入一個容差參數(shù)，以確定連續(xù)間隔的時間數(shù)據(jù)是否均勻間隔。如果輸入時間數(shù)組中兩點之間的差值（以百分比表示）大于容差值，則會將“#REF”返回到Sheet。

計算出的實部和虛部數(shù)據(jù)數(shù)組的輸出數(shù)據(jù)量將是2的冪次方。因此,理想的采集數(shù)據(jù)點數(shù)應該是2的冪次方，比如64、128、256、512、1024等。如果數(shù)據(jù)點的數(shù)量不是2的冪次方，則返回的點數(shù)將被減少，使其等于2的冪次方。Clarius庫中的多個測試，包含了使用FFT公式將基于時間的電流或電壓測量轉(zhuǎn)換為頻率相關參數(shù)的示例。這些例子包括SMU電流譜密度、電阻器的熱噪聲、PMU電流譜密度和RC電路的交流阻抗。

SMU電流譜密度與頻率測量

Clarius庫中的SMU電流譜密度（smu-isd）測試，使用SMU進行的隨時間變化的直流電流測量，從中得出電流譜密度與頻率的相關函數(shù)。根據(jù)設備和應用的不同，該測試可能能夠用于導出包括設備的電流噪聲，1/f噪聲。

圖2. smu-isd測試公式

在本測試中，4201-SMU使用Normal速度模式，在三個不同的電流范圍（1mA，1μA和1nA）下，測試開路的直流電流與時間關系。SMU的Force HI和Sense HI端子上需要加蓋金屬帽。FFT函數(shù)將會導出電流、功率、頻率、帶寬和電流譜密度的實分量和虛分量，如圖2所示。

圖3. SMU不同檔位的電流譜密度與頻率

三次測試運行得到的電流譜密度與頻率曲線如圖3所示。因為測量的是用開路的電流，所以基本上是推導出來的是SMU的本底噪聲。頻率會根據(jù)定時設置而發(fā)生變化。

這些圖表顯示的是電流噪聲譜密度，以A/sqrt(Hz)為單位，而不是以單次，安培為單位，直流測量的噪聲。從快速傅立葉變換的數(shù)學表達式來看，電流頻譜密度在這里定義為：

ISD=sqrt（2*PWR/(PTS*BW)）

其中，PWR是電流幅度的平方，或者PWR=Im(I)^2 + Re(I)^2；BW是時間采樣的帶寬；PTS是點數(shù)，它應該是2的冪次方。帶寬（BW）定義為1/dt，其中dt為兩次測量之間的時間間隔，假設所有測量之間的時間間隔為恒定值。

測量速度在測試設置窗口中配置。雖然不能直接設置測量時間間隔，但測量時間、帶寬和測試頻率都是已知的，并會返回到列表中。在設置speed模式時，通常需要在每個單次直流測量的速度和噪聲之間進行權(quán)衡。測量速度越快，噪聲就越大。對于總測試時間較長的測量，帶寬較小，因此噪聲也較小。

本測試中的測量是在固定的電流量程上進行的。使用固定量程，而不是自動量程，這對于保持每個讀數(shù)的測量時間恒定是非常重要的，這是FFT計算所需要的。之所以使用sampling測試模式，是因為加載了一個恒定的偏置。在該模式下，必須輸入讀數(shù)的個數(shù)。盡管在使用FFT計算時需要大量的讀數(shù)，但這并不實用。在這個測試中，讀取了1024個讀數(shù)，因為1024是2的冪次方。表2列出了SMU電流譜密度測試的公式。

表2. SMU電流譜密度測試公式

電阻的熱噪聲

電阻的熱噪聲或約翰遜噪聲可以通過電阻上的直流電壓與時間的測量來計算。測試庫中的resistor-noise測試項測量0A的直流電壓與時間的函數(shù)，并計算在1GΩ電阻上的實部和虛部的電壓數(shù)組、功率、頻率、帶寬和電壓譜密度。電阻于SMU1和GNDU之間。一旦執(zhí)行測試，熱噪聲（VSD）被繪制為頻率的函數(shù)，如圖4所示。

圖4. 1GΩ電阻的熱噪聲

在這個測試中，直流電壓測量是在200mV量程上進行的，在1nA量程上施加0A。計算1GΩ電阻的噪聲電流和約翰遜噪聲。1GΩ電阻的熱噪聲理論計算值約為4E-6Vrms，使用公式：vn=sqrt(4*k*TEMP* 1e9)。電阻器熱功率噪聲的實際公式為：

P=4*k*TEMP*BW

其中，k為玻爾茲曼常數(shù)，1.38 E-23 J/K，TEMP為環(huán)境溫度（K），BW為帶寬（Hz）。

表3列出了resistor-noise測試的公式描述。時間、量程、點數(shù)和其他設置的信息與導出SMU電流譜密度的描述類似。

表3. 電阻熱噪聲測試相關公式

使用PMU獲取電流譜密度

圖5. pmu-isd測試配置視圖

和SMU一樣，4225-PMU的電流譜密度也可以通過電流和時間的測量以及FFT計算得出。在測試庫中可以找到pmu-isd，在100μA和100nA范圍內(nèi)測試計算PMU開路的電流譜密度。這個測試是通過使用PMU_freq_time_ulib用戶庫中的PMU_sampleRate用戶模塊生成的。使用PMU測試，我們可以在CH1和CH2上加載電壓偏置，選擇CH2的電流范圍，并指定總測試時間和采樣率。pmu-isd測試的配置如圖5所示。

與SMU電流譜密度測試一樣，公式編輯器有幾個公式可以推導出測試電流的帶寬、實部分量和虛部分量、功率、頻率和電流譜密度。圖6顯示了100μA和100nA檔位下電流譜密度與頻率的函數(shù)曲線。由于數(shù)據(jù)是用開路采集的，因此這些是在固定電流量程上以可選采樣率測量到的PMU本底噪聲。

圖6. PMU電流譜密度

在configure視圖中，輸入總測試時間和采樣率。點數(shù)等于總測試時間乘以采樣率。選擇輸入?yún)?shù)，由于將對數(shù)據(jù)執(zhí)行FFT計算，使點數(shù)總數(shù)為2的幕次方。為了獲得最佳的結(jié)果，至少應該使用20個點或更多。對于本次測試，帶寬設置為1024HZ。

表4. PMU譜密度測試相關公式

測定RC串聯(lián)電路的交流阻抗

使用雙通道4225-PMU結(jié)合內(nèi)置的FFT計算公式，可以提取RC電路的AC阻抗參數(shù)。PMU在時域測量電流和電壓，Clarius公式編輯器中的FFT通過計算將這些測試結(jié)果轉(zhuǎn)換為頻域的相關參數(shù)。

例如，可以在PMU的CH1和CH2之間連接串聯(lián)RC電路，如圖7所示。CH1輸出周期性脈沖波形（ACV），CH2測量產(chǎn)生的電流（imeas）。通過FFT計算得到測試電路的AC阻抗參數(shù)，如串聯(lián)電阻（Rs）和電抗（Xs），以及阻抗的實部和虛部。電容（Cs）和耗散因子（D）可以用Rs和Xs推導出來。

圖7. 用于測量串聯(lián)RC電路AC阻抗的PMU連接

R-C Circuit AC Impedance Calculations（rs-cs-ac-impedance）測試項，包含RC串聯(lián)電路的AC參數(shù)。在這個測試示例中，PMU的CH1輸出一個具有指定幅度和測試頻率的脈沖波形。還指定了周期數(shù)和每個周期上的測試點數(shù)。在公式編輯器中配置計算，以提取100kΩ，10nF，R-C串聯(lián)電路的AC阻抗參數(shù)。此測試的配置如圖8所示。

圖8. rs-cs-ac-impedance測試的配置視圖

在此測試中，在配置視圖中輸入CH1的電壓脈沖幅值（ACV）、CH2的電流測量范圍（irange）、測試頻率（FREQ）、2^n個周期和2^n個點。表5列出了本次測試的輸入?yún)?shù)。基于這些輸入?yún)?shù)，PMU構(gòu)建具有電流測量值的電壓段波形。

表5. rs-cs-ac-immpedance測試輸入?yún)?shù)

在對周期信號進行FFT計算時，通常需要大量的周期然而，獲取大量數(shù)據(jù)通常是不現(xiàn)實的。為了確保足夠的精度，至少需要測試32(2^5)個周期，每個周期有32(2^5)個數(shù)據(jù)點。在rs-cs-ac-impedance測試中,周期數(shù)和每個周期的點數(shù)都是32。

如果想同時提取串聯(lián)電阻（RS）和電容（Cs），最好選擇近似為：F=1/RC的測試頻率。不過，這可能需要些實驗。通常在測量電容或電阻之間需要進行權(quán)衡。更精確的電容測量需要更小的系數(shù)D，D<0.1，而更精確的電阻測量需要更高的系數(shù)D，D>1。當需要足夠的精度提取同時獲取RS和Cs時，選擇F=1/RC提供了一個權(quán)衡方案。

一旦執(zhí)行測試，返回到Sheet相等的點數(shù)可以通過以下公式計算：

每次測試的總點數(shù)=循環(huán)次數(shù) x 每個循環(huán)的點數(shù)

對于本次測試，總點數(shù)=32x32=1024。CH1上的測量脈沖電壓（vforce），CH2的電壓（vlow），時間和CH2上的測量電流（imeas）的數(shù)組返回到表中。輸出參數(shù)的描述參考在表6。從返回值中，可以提取許多AC參數(shù)。對于本次測試，RC串聯(lián)電路的所有計算參數(shù)如表7所示。

表6. rs-cs-ac-impedance測試輸出參數(shù)

表7. 計算參數(shù)

所有輸出和計算參數(shù)也返回到列表中，并在Analyze視圖中繪制圖形，如圖9所示。數(shù)據(jù)可以在時域和頻域上繪制，左圖為電壓和電流隨時間變化的函數(shù)曲線，右圖為電壓（VPWR）和電流（IPWR）幅值的平方的數(shù)組與頻率的函數(shù)曲線。導出主諧波頻率處的Cs、Rs和D，并出現(xiàn)在表格的最后三列中。rs-cs-ac-impedance測試項使用PMU_freq_time_ulib用戶庫中的pmu_waveform用戶模塊。此用戶模塊還可用于執(zhí)行其他需要的特定測試頻率脈沖波形的測試。

圖9. 將數(shù)據(jù)在時域和頻域進行繪制

4200A-SCS參數(shù)分析儀對直流電流和電壓測量執(zhí)行FFT計算的能力，使許多AC參數(shù)的提取成為可能，包括電流譜密度、熱噪聲和AC阻抗。

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