我們通過(guò)費(fèi)米理想氣體模型解釋了半導(dǎo)體的行為，考慮了兩個(gè)不同的物理系統(tǒng)：電子和空穴。我們認(rèn)為，這有點(diǎn)牽強(qiáng)，在本教程中，我們引入了具有可變粒子數(shù)的理想費(fèi)米氣體的概念。

共價(jià)鍵

為不失一般性，我們以鍺 (Ge) 和硅 (Si) 為例。眾所周知，這兩種化學(xué)元素是四價(jià)的，結(jié)晶于金剛石的晶格結(jié)構(gòu)中：?jiǎn)蝹€(gè)原子有四個(gè)鄰居，位于正四面體的頂點(diǎn)。這些原子通過(guò)共價(jià)鍵連接，其中四個(gè)價(jià)電子中的一個(gè)與相鄰原子的“最近”價(jià)電子建立自旋單重態(tài)1。圖 1 是 Ge/Si 晶格結(jié)構(gòu)的二維表示。

用不太精確但有效的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，我們會(huì)說(shuō)在自旋單重態(tài)中，電子具有反向平行自旋。這種表達(dá)的不精確之處在于自旋角動(dòng)量是量子可觀測(cè)量，沒(méi)有經(jīng)典的類(lèi)似物。因此，用矢量來(lái)描述自旋是沒(méi)有意義的。

我們預(yù)計(jì)熱激蕩會(huì)破壞共價(jià)鍵，因?yàn)樵赥 = 0 K 時(shí)，共價(jià)鍵是完整的(在此溫度下晶體是絕緣體)。實(shí)際上，我們可以考慮以下情況：對(duì)于給定溫度T > 0，只有一個(gè)鍵斷裂，如圖 2 所示。電子 1 仍然與其所屬的原子結(jié)合，而電子 2 是自由的;然而，這兩個(gè)電子處于自旋單重態(tài)，因?yàn)闊崮軙?huì)改變動(dòng)力學(xué)自由度，但不改變自旋自由度。用量子力學(xué)的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，熱能的影響相當(dāng)于一種改變量子態(tài)的測(cè)量操作。

通過(guò)將溫度恢復(fù)到T = 0，恢復(fù)初始配置，其中兩個(gè)電子都位于兩個(gè)相鄰原子之間。

在現(xiàn)實(shí)的描述中，當(dāng)溫度T足夠高時(shí)，會(huì)有一定數(shù)量的共價(jià)鍵斷裂，如前所述，這個(gè)量是溫度的函數(shù)，我們將其寫(xiě)為N e ( T ) ，條件是N e ( 0) = 0 ，這在數(shù)學(xué)上表達(dá)了絕對(duì)零度溫度下共價(jià)鍵的重組。

圖 1：Ge/Si 晶格結(jié)構(gòu)的二維表示。紅色矩形表示相鄰原子電子之間的共價(jià)鍵

圖 2：熱力學(xué)平衡溫度T足以破壞共價(jià)鍵(帶虛線邊緣的矩形)。電子 1 和 2 不再結(jié)合，但仍處于自旋單重態(tài)。因此，如果溫度消失，初始鍵就會(huì)恢復(fù)

單電子能級(jí)

從各自的共價(jià)鍵中釋放出來(lái)的N e ( T )電子意味著存在N e ( T ) 正離子，其總電荷為Q = + eN e ( T )，e是束縛在晶格位置上的電荷電子的絕對(duì)值。因此，我們有一個(gè)量子力學(xué)系統(tǒng)N e ( T) 電子受到由離子系統(tǒng)產(chǎn)生的庫(kù)侖力場(chǎng)的作用。我們可以忽略電子與電子之間的排斥力，因?yàn)橹饕嗷プ饔檬怯呻x子施加的。該力場(chǎng)的勢(shì)能是坐標(biāo) ( x, y, z ) 上的周期函數(shù)V ( x, y, z )，其周期等于晶格間距，因?yàn)樵诿總€(gè)晶格節(jié)點(diǎn)中我們都可以找到一個(gè)離子。從量子角度來(lái)看，這是一個(gè)求解單電子哈密頓算符特征值譜的問(wèn)題，即能量的特征值ε和相應(yīng)的特征函數(shù)ψ。按照泡利不相容原理，每個(gè)單個(gè) e 能級(jí)最多由兩個(gè)電子占據(jù)。

與所有量子力學(xué)問(wèn)題一樣，所研究系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性在尋找特征值方程或穩(wěn)態(tài)薛定諤方程的解時(shí)起著決定性的作用。在晶體的情況下，對(duì)稱(chēng)性由離散平移(晶格步長(zhǎng))下的不變性給出。從數(shù)學(xué)上講，這通過(guò)著名的布洛赫定理來(lái)表達(dá)，根據(jù)該公式，能量的特征函數(shù)是振幅調(diào)制的平面波，其調(diào)制包絡(luò)是一個(gè)周期函數(shù)，其周期等于晶格的步長(zhǎng)(因此具有與能量勢(shì)相同的周期性)。從物理上講，平面波的振幅調(diào)制意味著單個(gè)電子的行為“幾乎”像一個(gè)自由粒子。更具體地說(shuō)，只要我們用周期勢(shì)的存在代替電子的質(zhì)量，我們就可以將其視為自由粒子。

勢(shì)能周期性的一個(gè)顯著結(jié)果是能量特征值譜的能帶結(jié)構(gòu)，即后者是由一定數(shù)量的間隔組成的，間隔之間有間隙。特征值的這種行為表征了任何固體，無(wú)論是導(dǎo)體(金屬)、絕緣體還是半導(dǎo)體。一旦計(jì)算出單個(gè)電子的能量ε的特征值，下一步就是查看這些能級(jí)是如何填充的。正如我們?cè)谏弦黄谥锌吹降哪菢?，能?jí)ε被占據(jù)的概率由費(fèi)米-狄拉克分布函數(shù)表示：

回想一下，μ ( T ) 是電子氣的化學(xué)勢(shì)。在金屬的特定情況下，導(dǎo)帶由構(gòu)成理想費(fèi)米氣體的常數(shù)(即與溫度無(wú)關(guān))電子填充。在圖 3 中，我們將 (1) 帶回到溫度T = 0，我們可以看到從 0 到 a ε max = μ (0) 的能級(jí)填充，眾所周知，這定義了費(fèi)米能量，通常用ε F表示。

圖 3：絕對(duì)零度溫度下的費(fèi)米-狄拉克分布

綜上所述，半導(dǎo)體中導(dǎo)帶中的電子構(gòu)成理想費(fèi)米氣體，其粒子數(shù)可變，由N e ( T ) 給出。N e (0) = 0的 情況必然意味著μ (0) = 0，這是該系統(tǒng)的費(fèi)米能級(jí)。這個(gè)結(jié)論似乎是一個(gè)正式的解決方案，因?yàn)樵赥 = 0 時(shí)系統(tǒng)“消失”，因?yàn)閮r(jià)帶中的電子與其各自的鄰居共價(jià)結(jié)合。實(shí)際上，ε F = 0 具有以下含義：電子氣體永遠(yuǎn)不會(huì)退化，因?yàn)樗冀K是T > T F = 0，其中T F = εF /k B 是費(fèi)米溫度。

重新定義孔洞統(tǒng)計(jì)

在半導(dǎo)體物理學(xué)中，空穴是“準(zhǔn)粒子”，其電荷與電子相反。與電子一樣，這些實(shí)體的有效質(zhì)量為m ?這通常不同于電子的有效質(zhì)量?？紤]到空穴與電子具有相同的自旋，預(yù)計(jì)能級(jí)分布會(huì)出現(xiàn)費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)?，F(xiàn)實(shí)情況并非如此，在繼續(xù)之前，讓我們先回顧一下產(chǎn)生間隙的機(jī)制。在虛擬實(shí)驗(yàn)中，一定數(shù)量的共價(jià)鍵斷裂，隨之而來(lái)的是相同數(shù)量的電子的釋放，任何“空位”都可以被來(lái)自新斷裂鍵的電子占據(jù)。后者又會(huì)留下一個(gè)空位，可以由另一個(gè)電子占據(jù)。這個(gè)過(guò)程的迭代得出以下結(jié)論：從共價(jià)鍵釋放的電子的“運(yùn)動(dòng)”對(duì)應(yīng)于空位在相反方向的“運(yùn)動(dòng)”。實(shí)驗(yàn)上，這些“空穴”的行為就像電荷粒子q = + e，因此空穴被稱(chēng)為準(zhǔn)粒子。

為了使這一論點(diǎn)可操作化，有必要確定能級(jí)的統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)：

方程 (2) 中報(bào)告的量是能級(jí)ε未被占據(jù)的概率。如果某個(gè)能級(jí)未被占據(jù)，則稱(chēng)其為“被空穴占據(jù)”： 因此， f h ( ε ) 是空穴分布函數(shù)，就像f e ( ε ) 是電子分布函數(shù)一樣。

這種說(shuō)法是不準(zhǔn)確的，因?yàn)閱蝹€(gè)空穴的能量特征值與單個(gè)電子的能量特征值不一致。從物理上講，這意味著電子和空穴永遠(yuǎn)不會(huì)具有相同的能量。只要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞扛淖?，方?(2) 就會(huì)定義間隙分布函數(shù)。為此，讓我們檢查一下圖 4 中的方案，其中共價(jià)鍵的斷裂會(huì)釋放出一個(gè)電子，從而獲得能量ε 1 > 0，留下一個(gè)能量為ε ′的空穴。

因此，公式(2)可以重寫(xiě)如下：

空穴分布函數(shù)如下：

我們得出空穴追逐電子的統(tǒng)計(jì)結(jié)論。這并不是文字游戲，因?yàn)閒 h 的定義與f e互補(bǔ)。在 (4) 中，它是電子氣的化學(xué)勢(shì)，沒(méi)有必要為空穴定義化學(xué)勢(shì)，因?yàn)樗鼈兪菑碾娮娱_(kāi)始定義的。

圖 4：導(dǎo)帶和價(jià)帶之間由帶隙ε g隔開(kāi)

我們報(bào)告了上一期關(guān)于各個(gè)能帶中電子數(shù)和空穴數(shù)的結(jié)果。符號(hào)的含義很明顯：

通過(guò)施加條件(本征半導(dǎo)體)N e ( T ) = N h ( T )，我們獲得化學(xué)勢(shì)：

請(qǐng)注意，這些關(guān)系即使在低溫下仍然有效，而不僅僅是在經(jīng)典極限下，因?yàn)槿缜八?，電子氣體永遠(yuǎn)不會(huì)退化。

結(jié)論

從 (6) 式可知，μ (0) = ? ε g / 2，即在帶隙中間，正如我們?cè)谏弦活}中確定的那樣。這樣，帶隙概念的引入破壞了μ (0) = ε F的定義，就像在金屬中一樣。反之亦然，如果我們想保留這個(gè)定義，我們會(huì)得出ε F < 0 的結(jié)果，因此費(fèi)米溫度為T(mén) F < 0。這個(gè)矛盾的結(jié)果可能是空穴理論不自洽的標(biāo)志，此外，負(fù)費(fèi)米溫度會(huì)引發(fā)一系列與負(fù)絕對(duì)溫度問(wèn)題相關(guān)的問(wèn)題(甚至T (F) 與半導(dǎo)體溫度無(wú)關(guān)，但它是所研究電子氣的特征量。