引言

近些年,隨著電機控制技術(shù)的不斷發(fā)展,諸如EKF算法(擴展卡爾曼濾波)已經(jīng)在電機無速度傳感器控制方面發(fā)展得較為成熟,但是,在具體的應(yīng)用過程中,EKF算法需要將傳遞函數(shù)進行線性化,使之能夠應(yīng)用卡爾曼的經(jīng)典五步進行濾波,因此會出現(xiàn)線性誤差,從而導(dǎo)致對電機的轉(zhuǎn)速以及電角度的估算在高速運轉(zhuǎn)時較為精確,在低速狀態(tài)下,則會產(chǎn)生明顯的誤差,另外,由于電機始終保持旋轉(zhuǎn),因此,該誤差不斷累積,最終會導(dǎo)致電機失步等問題,同時也限制了系統(tǒng)的魯棒性。為提升系統(tǒng)的操控性能,同時強化電機在低速狀態(tài)下的表現(xiàn),一種基于sigma點采樣的新型卡爾曼濾波算法開始在無速度傳感器PMSM控制中大量使用。目前無跡卡爾曼濾波器(UKF)能以至少二階的泰勒精度逼近系統(tǒng)的狀態(tài)后驗均值和協(xié)方差。因此,UKF算法十分適用于處理飛行器姿態(tài)控制、電機參數(shù)辨識、轉(zhuǎn)速估計等強非線性高斯系統(tǒng)濾波問題。另外,UKF算法無需計算雅克比矩陣,因此,既減小了計算量,又沒有線性誤差,同時也不要求系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型連續(xù)可微,是對EKF算法的有效提升。

1基本原理

使用無跡變換前,需要對系統(tǒng)進行sigma點采樣,才能夠完成隨機變量后驗分布的加權(quán)統(tǒng)計。如今,在無跡變換的采樣策略中,單形采樣和對稱采樣使用頻率最高,而單形采樣中,超球體單形采樣是應(yīng)用最廣泛的采樣策略。

1.1超球體單形采樣

在介紹超球體單形采樣前,先介紹一下對稱采樣,通常情況下,若系統(tǒng)狀態(tài)變量個數(shù)為n,則對稱采樣需要2n+1個采樣點,但是,這樣的話,計算量較大,在文獻中,介紹了n維空間中最少的采樣點個數(shù)為n+1。

由于對稱采樣的計算量依然較大,因此超球體單形采樣應(yīng)運而生,其要求除中心點以外的所有采樣點與中心點的距離相等分布,從而在整個sigma空間中呈現(xiàn)出球形,因而得名。

對于超球體采樣,sigma點選取的步驟如下:

(2)sigma點權(quán)值為:

(3)初始向量(對應(yīng)狀態(tài)向量維數(shù)為1):

(4)對于輸入維數(shù)j=1,2,…,n時,向量的迭代公式為:

(5)生成sigma點:

由于PMSM的數(shù)學(xué)模型維數(shù)通常為4,因此選取n=4,W0=0.25時,可以得到sigma點如表1所示。

1.2后向平滑的UKF算法實現(xiàn)步驟

BS-UKF算法的實現(xiàn)步驟如下:

初始化:

對初始值進行sigma點采樣,得到sigma點集:

BS-UKF算法本質(zhì)上也是卡爾曼濾波算法,因此,其估計過程也分為五步,首先,狀態(tài)預(yù)測:

其中Xi,klk-1為Xk1k-1的第i列向量,值得注意的是,做狀態(tài)預(yù)測的輸入值是經(jīng)過sigma點采樣得到的值。

狀態(tài)預(yù)測協(xié)方差矩陣:

量測預(yù)測更新:

其中,yi,klk-1為yk│k-1的第i列向量。

量測殘差協(xié)方差矩陣:

狀態(tài)量測互協(xié)方差矩陣:

濾波增益:

狀態(tài)更新:

狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣更新:

1.3永磁同步電機的數(shù)學(xué)模型

選取系統(tǒng)狀態(tài)變量分別為a8坐標(biāo)系下的兩相電流、電機機械轉(zhuǎn)速、電機電角度[iai8or9e]T、[.a.8]T作為輸入變量,[iai8]T作為輸出變量,可以得到離散化的系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程:

式中,Qxx為過程噪聲。

兩相靜止坐標(biāo)系下的系統(tǒng)量測方程為:

式中,Rxx為系統(tǒng)的量測噪聲。

2仿真證明

2.1基于對稱采樣的BS-UKF控制仿真

使用對稱采樣的BS-UKF無傳感器算法作為超球體采樣法的對照組,編寫了相應(yīng)的S函數(shù),之后在Simu1ink仿真環(huán)境中利用試湊法選取P0、Qk、Rk的初始值分別如下:P0=

在空載情況下,對控制系統(tǒng)的性能進行了仿真測試,其中轉(zhuǎn)速及位置角如圖1、圖2所示。

從以上波形可以看出,使用BS-UKF算法后,在選擇一個較好的P0、Qk、Rk初始值的情況下,能夠取得較好的轉(zhuǎn)速與位置角估計效果。

2.2基于超球體單形采樣的BS-UKF控制仿真

編寫了使用超球體單形采樣法的S函數(shù),之后在同一個仿真模型中,采用相同調(diào)節(jié)進行測試,超球體單形采樣的BS-UKF算法的P0、Qk、Rk初始值為:

在空載情況下,對控制系統(tǒng)的性能進行了仿真測試,其中轉(zhuǎn)速及位置角如圖3、圖4所示。

通過對比以上仿真結(jié)果,我們可以看出超球體單形采樣法與對稱采樣法,在系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后,二者的表現(xiàn)近乎完全一致,并沒有什么差別,但是,在進入穩(wěn)態(tài)前,超球體單形采樣的跟蹤效果更好,也能夠更好地跟蹤系統(tǒng)轉(zhuǎn)速,在位置跟蹤能力上甚至更佳。

3結(jié)語

本文首先從理論上闡明了超球體采樣相對于對稱采樣的優(yōu)勢,并對基于對稱采樣的UKF和超球體采樣的UKF分別進行了仿真驗證,從仿真結(jié)果可以直觀地看出在系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后,二者的表現(xiàn)近乎完全一致,并沒有什么差別,但是,在進入穩(wěn)態(tài)前,超球體單形采樣的跟蹤效果更好,也能夠更好地跟蹤系統(tǒng)轉(zhuǎn)速,在位置跟蹤能力上甚至更佳。