摘要：利用MathCAD繪制單位增益壓控電壓源二階巴特沃斯高通濾波器參數(shù)方程的誤差等值曲線，對其分析研究后得出一種優(yōu)化設(shè)計方案，即首先挑選電容，使C1=C2；然后利用公式計算電阻值。顯然，這種設(shè)計方案具有方便、低成本，易于補(bǔ)償溫漂的優(yōu)勢。經(jīng)Multisim-10仿真分析，還證實了該方案具有最穩(wěn)定性的特點。
關(guān)鍵詞：高通濾波器；壓控電壓源；巴特沃斯；穩(wěn)定性；MathCAD；Multisim

0 引言
    巴特沃斯高通濾波器因為其具有通帶內(nèi)幅頻響應(yīng)平坦的特點而被廣泛應(yīng)用，其中二階高通濾波器既是常用單元又是組成高階高通的基本單元，其常見的電路形式主要有無限增益多路反饋式(MFB：Multiple Feed-back Circuits)和壓控電壓源式(VCVS：Voltage-Contralled Voltage Source)。VCVS式高通濾波器具有增益容易控制、同相輸出、所需要的精密電阻和電容元件較少、輸出阻抗低、對運放性能要求較低等優(yōu)點。
    有關(guān)VCVS二階高通濾波器的設(shè)計在許多資料中都有介紹，主要方法有查表法、圖示法和計算法。但目前資料上介紹的方法都存在一些不足：查表法、圖示法只能取到一部分值，不能滿足普遍情況，而且使用不方便；有些設(shè)計是先確定電阻阻值，再查圖表或計算匹配電容，而這樣特定的電容比較難找到，定制這樣的電容花費的時間較長、成本較高，且電容精度比電阻精度難以保證；還有就是查表法、圖示法和部分計算法沒有給出必要的理論根據(jù)和通用表達(dá)式，使用者不明白其依據(jù)，難以放心使用，更不適合教學(xué)。并且這些方法都未提及所設(shè)計濾波器的穩(wěn)定性問題。
    文獻(xiàn)雖然談到了濾波器穩(wěn)定性的問題，但只是對于VCVS式和MFB式低通進(jìn)行了比較，并未分析如何優(yōu)化濾波器的設(shè)計方案。文獻(xiàn)對VCVS二階低通濾波器的優(yōu)化設(shè)計進(jìn)行了研究，并得出了最優(yōu)化設(shè)計方案。但未提及高通濾波器的優(yōu)化設(shè)計。
    本文以VCVS二階巴特沃斯高通濾波器的優(yōu)化設(shè)計為例，采用MathCAD對VCVS二階巴特沃斯高通濾波器進(jìn)行詳細(xì)分析，并用電路仿真軟件Multisim-10對理論分析結(jié)果進(jìn)行仿真，證實所提出的優(yōu)化設(shè)計方案穩(wěn)定可靠。

1 VCVS二階高通濾波器的設(shè)計
1．1 VCVS二階高通設(shè)計
    圖1是基本的VCVS二階高通濾波器，由基爾霍夫電流定律可以推導(dǎo)其傳輸函數(shù)為：
   

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    其中α、β是二項式系數(shù)，代表不同的濾波特性，由式(1)、 (2)、 (3)可得：

    至此，原則上講，選定C1和C2后可以由式(2)、(5)、(7)、(10)、(11)設(shè)計任意特性的VCVS二階高通，但實際工作中，特別是有關(guān)信號分析的應(yīng)用中經(jīng)常使用的是通帶內(nèi)放大倍數(shù)穩(wěn)定為1的單位增益巴特沃斯高通濾波器。
1．2 VCVS二階單位增益巴特沃斯高通設(shè)計
    對于巴特沃斯濾波器，其二項式系數(shù)，根據(jù)所需要的轉(zhuǎn)折頻率f0，計算ω0=2πf0；對于單位增益AF=1，式(5)～(12)可簡化為：
   
2 VCVS二階單位增益巴特沃斯高通設(shè)計的優(yōu)化
    由式(8a)～(11a)原則上就可以完成VCVS二階單位增益巴特沃斯高通濾波器的設(shè)計，其中優(yōu)先選取的是電容C2，下面的問題是如何選取兩個電容比值k。
2．1 k 值的選取
    k 值的選擇應(yīng)該存在一個使計算和元件選配都方便的選擇。由式(10a)、(11a)可知，此值為k=1。此時可以先根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率、電容的標(biāo)準(zhǔn)系列值和保證電阻在中等大小范圍內(nèi)的經(jīng)驗公式選取C2：

    為保證增益為1，并為運放負(fù)端提供地回路，同時補(bǔ)償運放失調(diào)，?。?br />    
    在運放失調(diào)較小時，Rf、Rr可簡單地取：Rr≈10k，Rf=0。
    具體制作時可直接挑選2個等值C2的電容和3個等值R2的電阻(其中一個作R2，另2個并聯(lián)作R1)。
    k=1這一取值，不僅計算方便，還具有元件選取方便、可操作性強(qiáng)和低成本的優(yōu)勢。由于元件是相同規(guī)格，訂制和裝配成本都低，不易發(fā)生裝配錯誤，而且先確定的相對較貴、精度較難保證的電容，即放寬了對電容的要求，而需要匹配的是精度容易保證價格較低的電阻，成本又會降低一些。另外，由于是同規(guī)格器件，溫漂和老化規(guī)律一致，若選取電阻和電容變化方向相反的器件，還可以進(jìn)一步保證其長期穩(wěn)定性和溫度穩(wěn)定性。
2．2 穩(wěn)定性分析
    k=1無疑是方便、低成本的選擇，但k=1時構(gòu)成的濾波器穩(wěn)定性如何，需要分析和驗證。
    很明顯，完全滿足參數(shù)方程(8a)即δ=0的就是理想的VCVS二階單位增益巴特沃斯高通，若δ偏離0，也就偏離了理想狀況。
    令R2=rR1，由式(4)、 (8a)可得
   
    采用MathCAD作出誤差δ隨k、r變化的等值曲線，如圖2所示，δ=0曲線是理想曲線，其附近曲線密集的地方表示更容易偏離理想情況。[!--empirenews.page--]

    由圖2可知k=1附近等值線最稀疏，也就是最穩(wěn)定。所以，設(shè)計方便、成本最低的k=1設(shè)計方案，恰好也是最穩(wěn)定的方案。

3 穩(wěn)定性驗證
    由上節(jié)的理論分析可見，優(yōu)化設(shè)計的結(jié)論是k=1時VCVS二階單位增益巴特沃斯高通具有方便、可行、低成本并且穩(wěn)定的優(yōu)勢，下面對其穩(wěn)定性用仿真分析加以驗證。
3．1 Multisim-10仿真驗證
    以設(shè)計截止頻率為100kHz的VCVS二階單位增益巴特沃斯高通濾波器為例，按上述方法，具體設(shè)計步驟是：取，如1nF，又C1=kC2，由式(10a)、(11a)、(13a)計算出R1、R2、Rr。具體設(shè)計數(shù)據(jù)見表1。

    采用Multisim-10電路仿真軟件，對表1所設(shè)計的高通濾波器進(jìn)行參數(shù)掃描分析，仿真界面見圖3，XFG1作用是產(chǎn)生輸入信號，XSC1作用是輸入輸出波形檢測，XBP1作用是觀測輸出特性曲線。

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    為突出偏差，假設(shè)4個參數(shù)C1、C2、R1、R2分別變化±20％，并設(shè)置為三點線性掃描，即對每個元件值都取-20％、0、+20％三值分析傳輸函數(shù)。為了方便比較，將仿真數(shù)據(jù)導(dǎo)出后用MathCAD按同一規(guī)格畫出對應(yīng)的高通傳輸曲線，并突出特征頻帶區(qū)。如圖4～7，橫坐標(biāo)頻率統(tǒng)一為10kHz～1MHz，縱坐標(biāo)是增益。

    若電容C1變化，其高通特性曲線如圖4。C1正負(fù)變化時的特征曲線圍繞C1取理論值的曲線的兩邊分布，且在經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率份f0之后偏移方向反轉(zhuǎn)，即相對C1準(zhǔn)確的理想曲線，C1變小時，在f0之前傳輸函數(shù)G偏小，經(jīng)過f0點后G反轉(zhuǎn)為偏大。k越遠(yuǎn)離1，在通帶內(nèi)偏離理想曲線越遠(yuǎn)，結(jié)論是C1變化時傳輸函數(shù)G與k有關(guān)，在通帶內(nèi)，取k=1時對應(yīng)的濾波器穩(wěn)定性最好，最不易偏離理想值。
    由圖6、7可見，R1和R2兩電阻變化時傳輸函數(shù)G與k取值無關(guān)，只與電阻變化幅度有關(guān)，從電阻角度看k=1的選擇是合理的。

4 結(jié)語
    在理論推導(dǎo)VCVS高通傳輸函數(shù)的基礎(chǔ)上，得到了此類高通設(shè)計通式(5)～(12)，經(jīng)分析其單位增益巴特沃斯高通的通式特點，提出了一個計算方便的方案：先按經(jīng)驗式和電容標(biāo)準(zhǔn)系列值確定C2的取值，按C1=C2選定C1，此兩電容容值相等；再按式(12a)計算電阻取值，R1=0.5 R2，R1可由兩個相同的R2并聯(lián)構(gòu)成，由于器件規(guī)格相同，元件選配方便、裝配方便、訂制方便且成本較低，并且容易補(bǔ)償溫漂。
    采用MathCAD對VCVS二階單位增益高通參數(shù)方程進(jìn)行誤差等值圖進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)C2／C1在1附近誤差等值線最稀疏，因而最穩(wěn)定，即對器件不敏感，通過Multisim-10電路仿真對此方案設(shè)計的高通濾波器進(jìn)行了穩(wěn)定性驗證分析，結(jié)果表明該方案設(shè)計的高通同時也具有穩(wěn)定的優(yōu)點，性能令人滿意，具有較好的實用價值，目前看來不失為優(yōu)化方案。