傅立葉變換的重要性不用我說，想必大家也很清楚，有了傅立葉變換，我們就可以從信號的頻域特征去分析信號。尤其在無線通信系統(tǒng)中，傅里葉變換的重要性就更加明顯了，無論是設(shè)計者還是測試工程師，在工作中都會和傅立葉變換打交道。在以下的文章中，我給出一種傅里葉變換的C語言實現(xiàn)方法(參考了C常用算法集)，可以用于在嵌入式系統(tǒng)中實現(xiàn)傅立葉變換。

常規(guī)的傅立葉變換算法并不適用于嵌入式控制系統(tǒng)，原因是運算量太大(涉及到復(fù)數(shù)運算)，比如離散的傅立葉變換等同于用序列Y(n×1列矢量)乘以n×n 矩陣Fn，需要n×n次乘法。若n=1024,則是104，8576次乘法運算。哇，這么多呀!什么概念呢?如果你選用的CPU單周期指令為25ns, 單周期也可以完成一次乘法運算，那么要計算1024點的傅立葉變換則需要26.2144ms,這還不包括加法或其它運算，對于大多數(shù)實時系統(tǒng)，這個處理時間實在太長。于是尋找一個快速的傅立葉變換算法是人們所期望的。

本來我想把FFT的整個數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程列完出來，但當(dāng)自己硬著頭皮看完后，發(fā)現(xiàn)對我沒有任何用處，我又不是專門研究數(shù)學(xué)算法的，哪有那么多時間跟著書本的公式去慢慢推導(dǎo)。我想，這些推導(dǎo)問題還是讓數(shù)學(xué)家想去吧。我需要的不過是理解它，然后學(xué)會應(yīng)用它就行。有興趣的讀者可以參考相關(guān)的資料，這方面的資料實在太多了。

雖然FFT大幅度地降低了常規(guī)傅立葉變換的運算量，但對于一般的單片機(jī)而言，處理FFT運算還是力不從心。主要原因是FFT計算過程中的蝶形運算是復(fù)數(shù)運算，要分開實部和虛部分別計算，想想這是多么繁瑣的事情?？赡軙行┏鯇W(xué)者認(rèn)為，有這么復(fù)雜嗎?我在PC上使用C++一樣可以對復(fù)數(shù)直接進(jìn)行加、減、乘、除運算。你說得不錯，可以這么做，但那是C++封裝了對復(fù)數(shù)處理的類，直接調(diào)用就行。在PC上運算這種類型的算法一般不考慮時間和空間，多一兩秒的運行時間不會有什么災(zāi)難性的結(jié)果。

所以我們要衡量一個處理器有沒有足夠的能力來運行FFT算法，根據(jù)以上的簡單介紹可以得出以下兩點：

處理器要在一個指令周期能完成乘和累加的工作，因為復(fù)數(shù)運算要多次查表相乘才能實現(xiàn)。

間接尋址，可以實現(xiàn)增/減1個變址量，方便各種查表方法。FFT要對原始序列進(jìn)行反序排列，處理器要有反序間接尋址的能力。

所以，在數(shù)字信號的分析處理應(yīng)用中，DSP比其它的處理器有絕對的優(yōu)勢，因為DSP完全具備以上條件。這就是單片機(jī)(51系列，AVR，PIC等等)或ARM處理器很少用來進(jìn)行數(shù)字信號分析的原因。

重點來了，下面的這段程序就是用C語言實現(xiàn)傅里葉變換

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// 函數(shù)名: 快速傅立葉變換(來源《C常用算法集》)

// 本函數(shù)測試OK,可以在TC2.0,VC++6.0,Keil C51測試通過。

// 如果你的MCS51系統(tǒng)有足夠的RAM時,可以驗證一下用單片機(jī)處理FFT有多么的慢。

//

// 入口參數(shù)：

// l: l = 0, 傅立葉變換; l = 1, 逆傅立葉變換

// il: il = 0,不計算傅立葉變換或逆變換模和幅角;il = 1,計算模和幅角

// n: 輸入的點數(shù)，為偶數(shù)，一般為32，64，128，…,1024等

// k: 滿足n=2^k(k>0),實質(zhì)上k是n個采樣數(shù)據(jù)可以分解為偶次冪和奇次冪的次數(shù)

// pr[]: l=0時，存放N點采樣數(shù)據(jù)的實部

// l=1時, 存放傅立葉變換的N個實部

// pi[]: l=0時，存放N點采樣數(shù)據(jù)的虛部

// l=1時, 存放傅立葉變換的N個虛部

//

// 出口參數(shù)：

// fr[]: l=0, 返回傅立葉變換的實部

// l=1, 返回逆傅立葉變換的實部

// fi[]: l=0, 返回傅立葉變換的虛部

// l=1, 返回逆傅立葉變換的虛部

// pr[]: il = 1,i = 0 時，返回傅立葉變換的模

// il = 1,i = 1 時，返回逆傅立葉變換的模

// pi[]: il = 1,i = 0 時，返回傅立葉變換的輻角

// il = 1,i = 1 時，返回逆傅立葉變換的輻角

// data: 2005.8.15,Mend Xin Dong

void kkfft(double pr[], double pi[], int n, int k,

double fr[], double fi[], int l, int il)

{

int it,m,is,i,j,nv,l0;

double p,q,s,vr,vi,poddr,poddi;

for (it=0; it<=n-1; it++)

{

m = it;

is = 0;

for(i=0; i<=k-1; i++)

{

j = m/2;

is = 2*is+(m-2*j);

m = j;

}

fr[it] = pr[is];

fi[it] = pi[is];

}

//—————————-

pr[0] = 1.0;

pi[0] = 0.0;

p = 6.283185306/(1.0*n);

pr[1] = cos(p);

pi[1] = -sin(p);

if (l!=0)

pi[1]=-pi[1];

for (i=2; i<=n-1; i++)

{

p = pr[i-1]*pr[1];

q = pi[i-1]*pi[1];

s = (pr[i-1]+pi[i-1])*(pr[1]+pi[1]);

pr[i] = p-q;

pi[i] = s-p-q;

}

for (it=0; it<=n-2; it=it+2)

{

vr = fr[it];

vi = fi[it];

fr[it] = vr+fr[it+1];

fi[it] = vi+fi[it+1];

fr[it+1] = vr-fr[it+1];

fi[it+1] = vi-fi[it+1];

}

m = n/2;

nv = 2;

for (l0=k-2; l0>=0; l0–)

{

m = m/2;

nv = 2*nv;

for(it=0; it<=(m-1)*nv; it=it+nv)

for (j=0; j<=(nv/2)-1; j++)

{

p = pr[m*j]*fr[it+j+nv/2];

q = pi[m*j]*fi[it+j+nv/2];

s = pr[m*j]+pi[m*j];

s = s*(fr[it+j+nv/2]+fi[it+j+nv/2]);

poddr = p-q;

poddi = s-p-q;

fr[it+j+nv/2] = fr[it+j]-poddr;

fi[it+j+nv/2] = fi[it+j]-poddi;

fr[it+j] = fr[it+j]+poddr;

fi[it+j] = fi[it+j]+poddi;

}

}

if(l!=0)

for(i=0; i<=n-1; i++)

{

fr[i] = fr[i]/(1.0*n);

fi[i] = fi[i]/(1.0*n);

}

if(il!=0)

for(i=0; i<=n-1; i++)

{

pr[i] = sqrt(fr[i]*fr[i]+fi[i]*fi[i]);

if(fabs(fr[i])<0.000001*fabs(fi[i]))

{

if ((fi[i]*fr[i])>0)

pi[i] = 90.0;

else

pi[i] = -90.0;

}

else

pi[i] = atan(fi[i]/fr[i])*360.0/6.283185306;

}

return;

}