讀完本文，可以去力扣解決如下題目：134.加油站（Medium）

今天講一個貪心的老司機的故事，就是力扣第 134 題「加油站」：

題目應(yīng)該不難理解，就是每到達(dá)一個站點i，可以加gas[i]升油，但離開站點i需要消耗cost[i]升油，問你從哪個站點出發(fā)，可以兜一圈回來。

要說暴力解法，肯定很容易想到，用一個 for 循環(huán)遍歷所有站點，假設(shè)為起點，然后再套一層 for 循環(huán)，判斷一下是否能夠轉(zhuǎn)一圈回到起點：

int?n?=?gas.length;
for?(int?start?=?0;?start?????for?(int?step?=?0;?step?????????int?i?=?(start? ?step)?%?n;
????????tank? =?gas[i];
????????tank?-=?cost[i];
????????//?判斷油箱中的油是否耗盡
????}
}
很明顯時間復(fù)雜度是 O(N^2)，這么簡單粗暴的解法一定不是最優(yōu)的，我們試圖分析一下是否有優(yōu)化的余地。

暴力解法是否有重復(fù)計算的部分？是否可以抽象出「狀態(tài)」，是否對同一個「狀態(tài)」重復(fù)計算了多次？

以前講動態(tài)規(guī)劃算法時候，我曾經(jīng)說過，變化的量就是「狀態(tài)」。那么觀察這個暴力窮舉的過程，變化的量有兩個，分別是「起點」和「當(dāng)前油箱的油量」，但這兩個狀態(tài)的組合肯定有不下 O(N^2) 種，顯然沒有任何優(yōu)化的空間

所以說這道題肯定不是通過簡單的剪枝來優(yōu)化暴力解法的效率，而是需要我們發(fā)現(xiàn)一些隱藏較深的規(guī)律，從而減少一些冗余的計算。

下面我們介紹兩種方法巧解這道題，分別是數(shù)學(xué)圖像解法和貪心解法。

圖像解法

汽車進入站點i可以加gas[i]的油，離開站點會損耗cost[i]的油，那么可以把站點和與其相連的路看做一個整體，將gas[i] - cost[i]作為經(jīng)過站點i的油量變化值：

這樣，題目描述的場景就被抽象成了一個環(huán)形數(shù)組，數(shù)組中的第i個元素就是gas[i] - cost[i]。

有了這個環(huán)形數(shù)組，我們需要判斷這個環(huán)形數(shù)組中是否能夠找到一個起點start，使得從這個起點開始的累加和一直大于等于 0。

如何判斷是否存在這樣一個起點start？又如何計算這個起點start的值呢？

我們不妨就把 0 作為起點，計算累加和的代碼非常簡單：

int?n?=?gas.length,?sum?=?0;
for?(int?i?=?0;?i?????//?計算累加和
????sum? =?gas[i]?-?cost[i];
}
sum就相當(dāng)于是油箱中油量的變化，上述代碼中sum的變化過程可能是這樣的：

顯然，上圖將 0 作為起點肯定是不行的，因為sum在變化的過程中小于 0 了，不符合我們「累加和一直大于等于 0」的要求。

那如果 0 不能作為起點，誰可以作為起點呢？

看圖說話，圖像的最低點最有可能可以作為起點：

如果把這個「最低點」作為起點，就是說將這個點作為坐標(biāo)軸原點，就相當(dāng)于把圖像「最大限度」向上平移了。

再加上這個數(shù)組是環(huán)形數(shù)組，最低點左側(cè)的圖像可以接到圖像的最右側(cè)：

這樣，整個圖像都保持在 x 軸以上，所以這個最低點 4，就是題目要求我們找的起點。

不過，經(jīng)過平移后圖像一定全部在 x 軸以上嗎？不一定，因為還有無解的情況：

如果sum(gas[...]) < sum(cost[...])，總油量小于總的消耗，那肯定是沒辦法環(huán)游所有站點的。

綜上，我們就可以寫出代碼：

int?canCompleteCircuit(int[]?gas,?int[]?cost)?{
????int?n?=?gas.length;
????//?相當(dāng)于圖像中的坐標(biāo)點和最低點
????int?sum?=?0,?minSum?=?Integer.MAX_VALUE;
????int?start?=?0;
????for?(int?i?=?0;?i?????????sum? =?gas[i]?-?cost[i];
????????if?(sum?????????????//?經(jīng)過第 i 個站點后，使 sum 到達(dá)新低
????????????//?所以站點?i? ?1?就是最低點（起點）
????????????start?=?i? ?1;
????????????minSum?=?sum;
????????}
????}
????if?(sum?0)?{
????????//?總油量小于總的消耗，無解
????????return?-1;
????}
????//?環(huán)形數(shù)組特性
????return?start?==?n???0?:?start;
}
以上是觀察函數(shù)圖像得出的解法，時間復(fù)雜度為 O(N)，比暴力解法的效率高很多。

下面我們介紹一種使用貪心思路寫出的解法，和上面這個解法比較相似，不過分析過程不盡相同。

貪心解法

用貪心思路解決這道題的關(guān)鍵在于以下這個結(jié)論：

如果選擇站點i作為起點「恰好」無法走到站點j，那么i和j中間的任意站點k都不可能作為起點。

比如說，如果從站點1出發(fā)，走到站點5時油箱中的油量「恰好」減到了負(fù)數(shù)，那么說明站點1「恰好」無法到達(dá)站點5；那么你從站點2,3,4任意一個站點出發(fā)都無法到達(dá)5，因為到達(dá)站點5時油箱的油量也必然被減到負(fù)數(shù)。

如何證明這個結(jié)論？

假設(shè)tank記錄當(dāng)前油箱中的油量，如果從站點i出發(fā)（tank = 0），走到j時恰好出現(xiàn)tank < 0的情況，那說明走到i, j之間的任意站點k時都滿足tank > 0，對吧。

如果把k作為起點的話，相當(dāng)于在站點k時tank = 0，那走到j時必然有tank < 0，也就是說k肯定不能是起點。

拜托，從i出發(fā)走到k好歹tank > 0，都無法達(dá)到j，現(xiàn)在你還讓tank = 0了，那更不可能走到j了對吧。

綜上，這個結(jié)論就被證明了。

回想一下我們開頭說的暴力解法是怎么做的？

如果我發(fā)現(xiàn)從i出發(fā)無法走到j，那么顯然i不可能是起點。

現(xiàn)在，我們發(fā)現(xiàn)了一個新規(guī)律，可以推導(dǎo)出什么？

如果我發(fā)現(xiàn)從i出發(fā)無法走到j，那么i以及i, j之間的所有站點都不可能作為起點。

看到冗余計算了嗎？看到優(yōu)化的點了嗎？

這就是貪心思路的本質(zhì)，如果找不到重復(fù)計算，那就通過問題中一些隱藏較深的規(guī)律，來減少冗余計算。

根據(jù)這個結(jié)論，就可以寫出如下代碼：

int?canCompleteCircuit(int[]?gas,?int[]?cost)?{
????int?n?=?gas.length;
????int?sum?=?0;
????for?(int?i?=?0;?i?????????sum? =?gas[i]?-?cost[i];
????}
????if?(sum?0)?{
????????//?總油量小于總的消耗，無解
????????return?-1;
????}
????//?記錄油箱中的油量
????int?tank?=?0;
????//?記錄起點
????int?start?=?0;
????for?(int?i?=?0;?i?????????tank? =?gas[i]?-?cost[i];
????????if?(tank?0)?{
????????????//?無法從?start?走到?i
????????????//?所以站點?i? ?1?應(yīng)該是起點
????????????tank?=?0;
????????????start?=?i? ?1;
????????}
????}
????return?start?==?n???0?:?start;
}
這個解法的時間復(fù)雜度也是 O(N)，和之前圖像法的解題思路有所不同，但代碼非常類似。

其實，你可以把這個解法的思路結(jié)合圖像來思考，可以發(fā)現(xiàn)它們本質(zhì)上是一樣的，只是理解方式不同而已。

對于這種貪心算法，沒有特別套路化的思維框架，主要還是靠多做題多思考，將題目的場景進行抽象的聯(lián)想，找出隱藏其中的規(guī)律，從而減少計算量，進行效率優(yōu)化。

好了，這道題就講到這里，希望對你拓寬思路有幫助。

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