0 引 言
    由于FIR數(shù)字濾波器具有系統(tǒng)穩(wěn)定，容易實(shí)現(xiàn)線性相位，允許設(shè)計(jì)多通帶(或多阻帶)以及硬件容易實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)，使得其在數(shù)字信號(hào)處理中有著廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法是建立在對(duì)理想濾波器頻率特性作某種近似的基礎(chǔ)上進(jìn)行設(shè)計(jì)的，其中包括窗函數(shù)法、頻率采樣法及最佳一致逼近法。窗函數(shù)法計(jì)算簡(jiǎn)單，但不能很好地折衷過(guò)渡帶與幅頻響應(yīng)誤差之間的矛盾。頻率采樣法直接從頻域處理，原理簡(jiǎn)單，計(jì)算也不復(fù)雜，但不易精確確定其通帶和阻帶的邊緣頻率，并且使用傳統(tǒng)的查表法，不能保證數(shù)據(jù)最優(yōu)。最佳一致逼近法著眼于整個(gè)區(qū)間內(nèi)的總誤差為最小，但并不一定能保證在每個(gè)局部誤差都最小。近年來(lái)許多學(xué)者將先進(jìn)方法用于FIR濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和遺傳算法等。這些算法具備一定的有效性，但存在理論復(fù)雜，收斂速度慢，容易早熟收斂等不足。在此，提出一種改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法(IMPSO)的FIR濾波器設(shè)計(jì)方法。該方法計(jì)算量小，整定時(shí)間短，并能有效克服早熟收斂的問(wèn)題。

1 引入粒子聚合度的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法
1．1 粒子群優(yōu)化算法(PSO)
    PSO算法是美國(guó)Kennedy和Eberhart受鳥(niǎo)群覓食行為的啟發(fā)，于1995年提出的。該算法的思想是通過(guò)種群粒子間的合作與競(jìng)爭(zhēng)，產(chǎn)生群體智能指導(dǎo)優(yōu)化搜索。PSO算法可用式(1)表示。

   
式中：vidk是粒子i在第k次迭代中第d維速度；xidk是粒子i在第k次迭代中第d維的位置；ω是慣性權(quán)值系數(shù)；pbestidk，是粒子i在第k次迭代中第d維個(gè)體極值點(diǎn)的位置(即個(gè)體最優(yōu))；gbestdk是整個(gè)種群在第k次迭代中第d維全局極值點(diǎn)的位置(即全局最優(yōu))；r1，r2是[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)；c1，c2是加速系數(shù)，或稱學(xué)習(xí)因子。
1．2 帶粒子聚合度的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法
    由式(1)可知，如果粒子的當(dāng)前位置在gbest，此時(shí)個(gè)體極值點(diǎn)與全局極值點(diǎn)為同一點(diǎn)，即pbest與gbest相同。這時(shí)粒子速度若等于零，則種群的粒子將會(huì)出現(xiàn)進(jìn)化停滯，算法只能收斂到種群目前尋找到的最優(yōu)解gbest。假如這時(shí)gbest對(duì)應(yīng)的只是一個(gè)局部最優(yōu)解，那么算法就出現(xiàn)了早熟收斂現(xiàn)象。
    針對(duì)PSO算法存在早熟和局部收斂的問(wèn)題，在基本PSO的基礎(chǔ)上，加入粒子聚合度n和一個(gè)線性遞減的慣性權(quán)值系數(shù)ω，對(duì)PSO算法進(jìn)行改進(jìn)。
    聚合度n是用來(lái)反映粒子群聚集程度的一個(gè)系數(shù)。當(dāng)粒子群出現(xiàn)高度聚集，進(jìn)化停滯時(shí)，n隨迭代次數(shù)遞增；當(dāng)n大于一個(gè)閾值λ(此閾值根據(jù)具體情況選擇)時(shí)，對(duì)粒子進(jìn)行變異，使變異粒子跳離當(dāng)前位置，進(jìn)入其他區(qū)域。在其后的搜索中，算法有新的個(gè)體極值pbest和全局極值gbest，從而跳出局部收斂。多次循環(huán)迭代后，就能找到全局最優(yōu)。
    改進(jìn)的算法可用式(2)和式(3)表示：

   
式(2)中rand是[0，1]間的隨機(jī)數(shù)：
式中：max Xd和min Xd分別是粒子在d維空間上的最大值和最小值。
    慣性權(quán)值系數(shù)叫決定控制算法的收斂特性，當(dāng)ω較大時(shí)，全局搜索能力強(qiáng)；當(dāng)ω較小時(shí)，局部搜索能力強(qiáng)。文獻(xiàn)[6]通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)證明，如果ω隨算法迭代的進(jìn)行而線性減小，將顯著改善算法的收斂性能。在此，?。?/p>

   
式中：(ωmax為最大慣性權(quán)值系數(shù)；ωmin為最小慣性權(quán)值系數(shù)；k為迭代次數(shù)；ksum為迭代總數(shù)。
    

2 用IMPSO設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器
2．1 FIR數(shù)字濾波器分析
    N階FIR數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)為k(0)，k(1)，…，k(N-1)，其傳遞函數(shù)可表示為：

   
    取z=ejω，可得到數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為：

   
    如果設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的理想頻率響應(yīng)為Hd(ejω)，則設(shè)計(jì)濾波器與理想FIR濾波器的誤差e可通過(guò)對(duì)兩濾波器的幅度在一定量的離散點(diǎn)上的誤差平方和來(lái)表示，即取M個(gè)離散點(diǎn)時(shí)：

    由式(7)容易知得，誤差e是濾波器N個(gè)系數(shù)h(n)(n=0，1，…，N-1)的函數(shù)。對(duì)FIR濾波器的設(shè)計(jì)，就要選取合適的濾波器系數(shù)h(n)，使誤差e最小。顯然，h(n)的選取是一個(gè)組合優(yōu)化問(wèn)題，因此可通過(guò)優(yōu)化算法求解濾波器系數(shù)h(n)，實(shí)現(xiàn)FIR設(shè)計(jì)。
2．2 適應(yīng)度函數(shù)
    IMPSO通過(guò)適應(yīng)度函數(shù)來(lái)確定粒子當(dāng)前位置的優(yōu)劣，因此選式(7)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的適應(yīng)度函數(shù)。即：

   
    顯然，F(xiàn)ithess函數(shù)值越小，則對(duì)應(yīng)濾波器的幅度均方誤差就越小，該粒子就對(duì)應(yīng)更佳的濾波器系數(shù)。算法結(jié)束后，適應(yīng)度最小的粒子所代表的參數(shù)值就是濾波器的最優(yōu)系數(shù)。
2．3 算法編碼及流程
    為了用IMPSO算法求解h(n)，應(yīng)對(duì)優(yōu)化參數(shù)h(0)，h(1)，…，h(N-1)進(jìn)行適當(dāng)?shù)木幋a，以形成IMPSO算法中的粒子。算法用實(shí)數(shù)來(lái)表示各參數(shù)，h(0)，h(1)，…，h(N-1)分別表示N個(gè)粒子當(dāng)前的位置；vh(0)，vh(1)，…，vh(N-1)分別表示當(dāng)前粒子的速度；pbest(0)，pbest(1)，…，pbest(N-1)表示各粒子的個(gè)體最優(yōu)，gbest表示全體的最優(yōu)解。算法流程如圖1所示。

3 仿真算例
    為了驗(yàn)證所提出算法的有效性，在計(jì)算機(jī)上采用Matlab語(yǔ)言進(jìn)行FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的仿真實(shí)驗(yàn)。同時(shí)為了比較算法性能，還采用基本遺傳算法(BGA)和基本粒子群優(yōu)化算法(BPSO)進(jìn)行了相同的濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)中，粒子群優(yōu)化算法的參數(shù)設(shè)置為：群體大小Size=30，參數(shù)維數(shù)Codel=30，最大慣性權(quán)重為O．9，最小為0．2，聚合度為20，最大迭代次數(shù)為200；遺傳算法參數(shù)設(shè)置為：種群30，遺傳代數(shù)200，交叉概率0．5，變異概率0．1。
    實(shí)例1 設(shè)計(jì)一個(gè)低通FIR數(shù)字濾波器，其技術(shù)指標(biāo)如下：

   
    實(shí)例2 設(shè)計(jì)一個(gè)帶通FIR數(shù)字濾波器，其技術(shù)指標(biāo)如下：

   
    圖2和圖4分別是三種算法在設(shè)計(jì)FIR低通和帶通數(shù)字濾波器的參數(shù)優(yōu)化過(guò)程圖。

    圖3和圖5則是用三種不同算法設(shè)計(jì)的FIR低通和帶通數(shù)字濾波器。從圖2和圖4中容易看出，無(wú)論是對(duì)低通還是帶通濾波器的設(shè)計(jì)，因?yàn)镮MPSO對(duì)BPSO加入了聚合度檢測(cè)，能進(jìn)行智能變異，同時(shí)采用線性遞減的慣性權(quán)值系數(shù)。因此與BPSO相比，IMPSO既有最快的尋優(yōu)速度，也具有最好的適應(yīng)值，只要迭代次數(shù)設(shè)置合理，在迭代次數(shù)范圍內(nèi)，粒子總會(huì)找到全局最優(yōu)值。BPSO與BGA的尋優(yōu)速度慢，容易陷入早熟收斂，很難得到理想的最優(yōu)參數(shù)。由圖3和圖5的FIR低通與帶通數(shù)字濾波器的幅頻特性曲線可明顯看出，利用IMPSO設(shè)計(jì)的濾波器在三種算法中最接近理想的濾波器，是較好的FIR濾波器設(shè)計(jì)方法。

4 結(jié) 語(yǔ)
    在此通過(guò)加入聚合度，并將遺傳算法中的變異思想引入到PSO算法中，對(duì)粒子實(shí)現(xiàn)智能變異，能有效克服標(biāo)準(zhǔn)．PSO容易進(jìn)入局部收斂的缺點(diǎn)。同時(shí)由于該算法用到的參數(shù)少，程序?qū)崿F(xiàn)簡(jiǎn)單，因此與BGA等其他算法相比，具有運(yùn)算量少，尋優(yōu)速度快等優(yōu)點(diǎn)。通過(guò)實(shí)例仿真結(jié)果表明，這里提出的IMPSO算法在FIR低通與帶通數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)上比BPSO和BGA具有更好的收斂速度和搜索能力。在設(shè)計(jì)FIR帶阻和多通帶數(shù)字濾波器時(shí)，IMPSO也是一種有效的設(shè)計(jì)方法。