0 引 言
    隨著信息時(shí)代和數(shù)字世界的到來(lái)，數(shù)字信號(hào)處理已成為當(dāng)今一門極其重要的學(xué)科和技術(shù)領(lǐng)域。數(shù)字信號(hào)處理在通信、語(yǔ)音、圖像、自動(dòng)控制、雷達(dá)、軍事、航空航天、醫(yī)療和家用電器等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在數(shù)字信號(hào)處理應(yīng)用中，數(shù)字濾波器十分重要并已獲得廣泛應(yīng)用。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無(wú)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(IIR)濾波器和有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(FIR)濾波器。IIR濾波器的特征是具有無(wú)限持續(xù)時(shí)間的單位脈沖響應(yīng)；FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)只能延續(xù)一定時(shí)間，它由于可以很方便地實(shí)現(xiàn)線性相位特性和容易實(shí)現(xiàn)而在工程上得到廣泛應(yīng)用。FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法有多種，如：窗函數(shù)設(shè)計(jì)法、頻率采樣法、最優(yōu)設(shè)計(jì)法(雷米茲法)等。鑒于現(xiàn)有的文獻(xiàn)多數(shù)都是僅介紹設(shè)計(jì)思想和方法，沒(méi)有從實(shí)際應(yīng)用和實(shí)現(xiàn)的角度來(lái)考慮多帶FIR濾波器的設(shè)計(jì)。
    FIR濾波器的濾波運(yùn)算，當(dāng)輸入序列是有限長(zhǎng)時(shí)，用FFT快速卷積進(jìn)行計(jì)算只要進(jìn)行2次FFT，1次IFFT就可完成線性卷積(濾波)計(jì)算。對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)序列可以采用重疊相加法或者重疊保留法將它化為有限長(zhǎng)序列卷積運(yùn)算。而H(k)如果可以在濾波器設(shè)計(jì)時(shí)直接獲得，則只要1次FFT，1次IFFT就可完成濾波運(yùn)算，因此稱為FIR濾波器FFT快速算法。下面討論FIR濾波器頻域直接計(jì)算H(k)的方法。

1 FIR濾波器的頻域設(shè)計(jì)
1．1 H(k)計(jì)算公式
    根據(jù)FIR濾波器頻域采樣法設(shè)計(jì)，如果濾波器的類型和階數(shù)N確定，可以在頻域上確定h(n)的N點(diǎn)FFT，用H1(k)表示。因此，有：

   

   
    可見(jiàn)，當(dāng)L為N的整數(shù)倍時(shí)只要通過(guò)對(duì)H1(k)內(nèi)插O，再進(jìn)行比例放大，就可得到H(k)。
    (2)假設(shè)濾波器具有線性相位特性，則H1(k)可用幅度函數(shù)和相位函數(shù)的采樣表示，記為：

   
    從上面分析可見(jiàn)，只要確定濾波器的階數(shù)N和H1(k)(H1k)就可計(jì)算出H(k)。下面討論其確定方法。
1．2 濾波器的階數(shù)和H1(k)確定方法
    在設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器之前，必須首先根據(jù)工程實(shí)際的需要確定濾波器的技術(shù)指標(biāo)。數(shù)字濾波器常常被用來(lái)實(shí)現(xiàn)選頻操作，因此，指標(biāo)的形式一般在頻域中給出幅度和相位響應(yīng)，并且對(duì)于FIR濾波器的設(shè)計(jì)，相位響應(yīng)指標(biāo)通常希望系統(tǒng)在通頻帶中具有線性相位。確定了技術(shù)指標(biāo)后，就可以建立一個(gè)目標(biāo)的數(shù)字濾波器模型。確定濾波器的階數(shù)和H1(k)。
    下面以一個(gè)實(shí)際例子來(lái)說(shuō)明計(jì)算過(guò)程。假設(shè)要設(shè)計(jì)一個(gè)多帶FIR線性相位數(shù)據(jù)濾波器的技術(shù)指標(biāo)為：對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣的周期T=O.000 1 s，在fp=[1 000，2 000，3 000]Hz處的衰減小于2 dB，在fr=[1 250，1 750，3 250]Hz處的衰減大于40 dB。則：
    (1)濾波器的技術(shù)指標(biāo)
    濾波器的技術(shù)指標(biāo)如下：
    通帶截止頻率：

   
    (2)目標(biāo)濾波器的模型
    采用理想濾波器模型作為所要設(shè)計(jì)的目標(biāo)濾波器模型。根據(jù)指標(biāo)要求，選用如圖1所示的幅度模型。

    (3)確定濾波器的階數(shù)和H1(k)
    根據(jù)過(guò)渡帶的指標(biāo)要求，由理想濾波器模型的過(guò)渡帶為2π/N可以確定濾波器階數(shù)N=40。根據(jù)線性相位的約束條件，N為偶數(shù)，濾波器的幅度函數(shù)要求奇對(duì)稱，即H1k滿足：H1k=-Hl(N-k)。
    由邊界頻率：可求出邊界頻率采樣點(diǎn)kp=[4，8，12]。
    以理想濾波器為目標(biāo)濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)，則幅度函數(shù)采樣點(diǎn)為：

   
    (4)設(shè)計(jì)結(jié)果性能分析
    根據(jù)內(nèi)插公式可求出所設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)。這里，直接利用Matlab編程分析得到的結(jié)果如圖2所示。

    由圖2可見(jiàn)，濾波器的邊界頻率符合要求，但是，阻帶衰減僅達(dá)到16 dB，因此，必須進(jìn)行優(yōu)化。
1．3 優(yōu)化設(shè)計(jì)
1．3．1 簡(jiǎn)易優(yōu)化設(shè)計(jì)法
    由內(nèi)插公式可知，頻率采樣濾波器的頻響在采樣點(diǎn)上等于采樣點(diǎn)的值，因此，在不增加階數(shù)的情況下，可通過(guò)修改邊界頻率點(diǎn)的采樣值進(jìn)行優(yōu)化。根據(jù)指標(biāo)要求：通帶衰減小于Ap=2 dB，阻帶衰減大于Ar=40 dB。將通帶和阻帶的邊界采樣點(diǎn)的值按式(10)，式(11)計(jì)算：

   
    根據(jù)式(10)，式(11)，將Ap，Ar代入，利用Matlab編程，相應(yīng)的語(yǔ)句如下：
   
    計(jì)算結(jié)果：Hp=0．794 3，Hr=0．010 O，優(yōu)化式(7)得到新的設(shè)計(jì)結(jié)果。進(jìn)行頻率特性分析得到如圖3所示的結(jié)果。由圖3可見(jiàn)，濾波器的邊界頻率符合要求，但是，阻帶最小衰減已經(jīng)超過(guò)了20 dB，得到了明顯改善。

l.3．2 自適應(yīng)搜索優(yōu)化
    上述方法簡(jiǎn)單但不是最優(yōu)，達(dá)到的性能指標(biāo)不高。下面利用自適應(yīng)搜索算法對(duì)過(guò)渡點(diǎn)進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化。自適應(yīng)搜索算法采用均方誤差最小準(zhǔn)則。對(duì)于具有線性相位的FIR數(shù)字濾波器，其性能主要取決于幅度函數(shù)，因此定義誤差函數(shù)E(ω)為：
   
式中：Hd(ω)為設(shè)計(jì)的目標(biāo)濾波器的幅度函數(shù)；H(ω)為設(shè)計(jì)的濾波器的幅度函數(shù)，其表達(dá)式為：

   
    則均方誤差為：

式中：M為頻域采樣點(diǎn)數(shù)，應(yīng)盡量大，取
    設(shè)：Hi為過(guò)渡點(diǎn)，η為搜索步長(zhǎng)。則可以導(dǎo)出該過(guò)渡點(diǎn)調(diào)整算法為：

   
可以證明，O<η<2／N時(shí)，該算法是收斂的。
    根據(jù)上述算法，利用Matlab編程對(duì)過(guò)渡點(diǎn)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，得到如圖4所示結(jié)果。

    由圖4可見(jiàn)，濾波器的邊界頻率符合要求，阻帶衰減超過(guò)40 dB，符合指標(biāo)要求，但是過(guò)渡帶增大。N增大一倍后，設(shè)計(jì)結(jié)果如圖5所示，濾波器指標(biāo)滿足要求。

2 結(jié) 語(yǔ)
    FIR濾波器的FFT快速算法實(shí)現(xiàn)，只要一次的FFT和一次的IFFT就可以實(shí)現(xiàn)，在階數(shù)高的情況下，具有很高的運(yùn)算效率。采用在頻域上直接設(shè)計(jì)可以很方便地得到所需的濾波器的頻域系數(shù)。當(dāng)L為N的整數(shù)倍時(shí)，只要通過(guò)對(duì)H1(k)內(nèi)插0，再進(jìn)行比例放大，就可得到H(k)，因此，可以作為L(zhǎng)，N選擇時(shí)參考。文中提出的根據(jù)所要設(shè)計(jì)的濾波器的技術(shù)指標(biāo)來(lái)確定邊界頻率點(diǎn)幅度取樣和自適應(yīng)搜索算法，可供教學(xué)和科研設(shè)計(jì)中進(jìn)行濾波器優(yōu)化時(shí)使用。